6.2.4向量的数量积（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：向量数量积的运算 必会题型二：向量的模与夹角 必会题型三：结论的应用 必会题型四：向量的数量积在平面几何中的应用 必会题型五：向量的数量积综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的夹角及数量积 1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角；当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b． 2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即·a＝0． 必会知识二 投影向量 如图6-2.4-2，设是两个非零向量，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫作向量在向量上的投影向量． 如图6-2.4-3，我们可以在平面内任取一点，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【名师点睛】(1)数量积等于的长度与在方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度与在方向上的投影向量的“长度”的乘积． (2)在方向上的投影向量的“长度”也可以写成． 必会知识三 向量数量积的性质： 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|， 特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝； (2)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (3)a⊥b⇔a·b＝0； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|． 必会知识四 平面向量数量积的运算律 (1)交换律； (2)(数乘结合律； (3)(分配律． 必会知识五 向量数量积的常用结论 (1)． (2)． (3)． (4)． (5． (6)||，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立． 以上结论可作为公式使用． 必会知识六 向量的符号与的夹角θ的关系 (1)当中至少一个为时，． (2)当均为非零向量时： 若，则； 若，则； 若，则． (2)当均为非零向量时： 若，则(特别地，若，则)； 若，则； 若，则(特别地，若，则． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：向量数量积的运算 1．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（理）试题）在中，，是边上的中线，且，，则（    ） A． B．5 C． D．8 2．（2023·云南曲靖·统考一模）在扇形COD中，．设向量，，则（    ） A．－4 B．4 C．－6 D．6 3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（    ） A．4 B． C． D．3 6．（2023·河南郑州·统考一模）已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______． 7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）如图，在中，，，为的中点，则_____________． 8．已知向量，的夹角为，且，则__________． 9．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足. (1)若，用向量表示； (2)若，且，求的取值范围. 必会题型二：向量的模与夹角 1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ） A． B． C． D． 2．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习