6.3.4-6.3.5 平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.3.4-6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 【考点梳理】 考点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 考点二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 考点三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 1．（2022·全国·高一）已知，，，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2020秋·山东·高一统考期末）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C．+＝ D．﹣与方向相反 3．（2020·浙江·高一期末）已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（    ） A． B． C．和 D．和和和 题型二：由向量平行（共线）求参数 4．（2022秋·北京·高一统考期末）已知向量，，且，那么（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．，2 D．，2 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（2022·高一单元测试）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考期中）已知平面内的三点，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·全国·高一期末）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：数量积和模的向量坐标运算 10．（2022秋·四川眉山·高一统考期末）已知矩形中，，，，，则（    ） A．6 B．10 C．14 D．38 11．（2022秋·安徽淮南·高一淮南市第五中学校考阶段练习）已知向量，，，则（   ） A． B． C．5 D．25 12．（2022秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：向量垂直的坐标表示问题 13．（2022秋·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）设，向量，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）已知，，，则（    ） A．2 B． C． D． 15．（2022秋·山东·高一统考期中）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，向量，满足，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：向量垂直中的参数问题 16．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，如果向量与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 17．（2022秋·河南南阳·高一统考期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 18．（2022·高一课时练习）已知，，且，的夹角为60°，如果，那么m的值为（　　） A． B． C． D． 题型七：向量坐标中的夹角计算问题 19．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为 20．（2022秋·山东青岛·高一统考期末）已知向量，，若与的夹