解密13 等差数列和等比数列的计算和性质（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密13 等差数列和等比数列的计算和性质 【考点解密】 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f (n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项用公式表示 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f (an)或a1，a2和an＋1＝f (an，an－1)等表示数列的方法 3．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 5．等差数列的定义 an－an-1=d (n≥2) 6．等差数列的通项公式 an ＝a1＋(n－1)d ＝am＋(n－m)d . 7．等差中项 若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项． 8．等差数列的下标和公式 若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an. 9．等差数列的前n项和公式 Sn＝ 或Sn＝na1＋d. 10．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)． 11.等差数列的常用性质 (1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． (2)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d. 12．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 13．等比数列的定义 ＝q (n≥2)． 14．等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1 = am·qn－m ． 15．等比中项 若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项. 16．等比数列的下标和公式 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq . 17．等比数列的前n项和公式 Sn＝ 18．等比数列的常用性质 在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)． 【方法技巧】 ♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法． ✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． (3)比较法： 若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1； 若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. 【核心题型】 题型一：等差数列的基本计算 1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（    ） A．1666 B．1654 C．1472 D．1460 3．（2023·重庆·统考一模）设等差数列的前n项和为，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型二：等差数列的基本性质 4．（2022·浙江·模拟预测）已知等差数列中，，公差，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数m＝（    ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 6．（2022·全国·高三专题练习）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：等差数列的函数 7．（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 8．