专题2.4 二次函数的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.4 二次函数的综合 【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值； （3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解； （2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可； （3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5）， ∴AD＝AB＝5，B（4，0）， ∴OA＝1， ∴A（﹣1，0）， 将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q， ∵PQ⊥y轴， ∴AO∥PQ， ∵AO＝PQ＝1， ∴四边形AOQP是平行四边形， ∴AP＝OQ， ∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ 若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小， ∵E，C关于对称轴x＝1对称， ∴EQ＝CQ， ∴EQ+OQ＝CQ+OQ， 此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长， ∵C（4，﹣5）， ∴， ∴EQ+PQ+AP的最小值为， 即EQ+PQ+AP的最小值为； （3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下： ①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME， ∴， 解得， ∴M（1，﹣3）； ②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM， ∴， 解得或， ∴M（1，﹣5）或（1，﹣5）； ③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM， ∴， 解得或， ∴M（1，）或（1，）； 综上所述：M点坐标为（1，﹣3），，，，． 1．（2022•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（　　） A．﹣1≤c≤0 B．﹣1≤c C．﹣1≤c D．0≤c 2．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x；②抛物线的最大值为；③∠ACB＝90°；④OP的最小值为．则正确的结论为（　　） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 3．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或 4．（2022•江阴市校级一模）如图，抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　） A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAE C．∠ACB﹣∠ANM∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13 5．（2022•高青县一模）已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线yx2上运动，则AM+BM的最小值为 　 　． 6．（2022•广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是　 　． 7．（2022•包河区校级三模）函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G． （1）当时，图象G与x轴的交点坐标为 　 　． （2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 　 　． 8．（2022•安顺模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），