专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略 如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 类型一、基本费马点模型 例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围. 【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值． 【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　） A．+ B．+ C．4 D．3 类型二、加权费马点模型 例：如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值；（2）的最小值 （3）的最小值；（4）的最小值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略 如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 类型一、基本费马点模型 例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围. 解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形. 从而，（两点之间线段最短），从而. 过作的平行线分别交于点，易知. 因为在和中， ①， ②。 又，所以③. ①+②+③可得， 即.综上，的取值范围为. 【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 【解析】 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG， 可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG． ∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上． 设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+． ∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2． 【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值． 【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，连接，，作交BA的延长线于点G，作交AB的延长线于点H， ∴，， ∴，，，， 又∵旋转角等于60°，∴，， ∴和都是等边三角形，∴，， ∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE， ∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为的长度． ∵，，∴，， 又∵，， ∴，，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形，∴， ∴，， ∴．∴． ∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为． 【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以