提分攻略11 非线性回归问题（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

提分攻略11　非线性回归问题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用。其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义,不仅培养学生数据分析、数学建模的数学素养,树立数学有用的意识,而且在现实生产生活中有着广泛的应用。

　　【典例1】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据进行了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量的值。

　　注:表中wi=,=wi。

对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线=+u的斜率与截距的最小二乘估计分别为=,=-。

(1)根据散点图判断,=+x与=+哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

(3)已知这种产品的年利润z与x,y之间的关系为=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题。

①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?

②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

【解】　(1)由散点图可以判断,=+适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型。

(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程。