提分攻略6 经典递推数列（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

提分攻略6　经典递推数列

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　递推式an+1=kan+f (n)(k≠0,1)转化为an+1+g(n+1)=k[an+g(n)],g(n)为待定系数。

类型1.当f (n)=A时,an+1+=k,是以a1+为首项,k为公比的等比数列。

类型2.当f (n)=Aqn时,

若q=k,则同除以kn+1,得到=+,则数列是以为首项,公差为的等差数列;

若q≠k,则可以采用以下两种方法:

方法1:两边同除以qn,转化为=·+A。令bn=,得bn+1=·bn+A,转化为类型1求解。

方法2:可用待定系数法,an+1+xqn+1=k(an+xqn),对比系数可知A=x(k-q),所以数列是以a1+为首项,k为公比的等比数列。

类型3.当f (n)=Aqn+B时转化成an+1+xqn+1+y=k(an+xqn+y),用待定系数法求x,y值,转化为等比数列。

类型4.当f (n)=an+b时,an+1=kan+an+b转化成an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B),用待定系数法求A,B值,转化为等比数列。

类型5.当f (n)=an2+bn+c时,an+1=kan+an2+bn+c转化为an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C=k(an+An2+Bn+C),用待定系数法求A,B,C值,转化为等比数列。

　　【典例1】　(1)在数列{an}中,已知a1=1。

①若an=an-1+2n-1(n≥2),求an;

②若an+1=3an+2n,求an。

(2)在数列{an}中,已知a1=5,若an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N*),求{an}的通项公式。

【解】　(1)①设bn=an+An+B,则an+An+B=[an-1+A(n-1)+B]。

展开后比对系数得⇒

此时bn=bn-1(n≥2)且bn=an-4n+6,

b1=a1-4×1+6=3,

所以{bn}是以3为首项,为公比的等比数列,

所以bn=3×。

从而3×=an-4n+6,

整理得an=3×+4n-6。

②解法一:设an+1+x2n+1=3(an+x2n),

展开并比对系数求得x=1,即an+1+2n+1=3(an+2n)。

所以an=3n-2n。

解法二:等号两边同除以2n+1,得=×+,

故+1=×,

即+1=,所以an=3n-2n。

解法三:等号两边同除以3n+1,

得-=×,

叠加可得=1-,所以an=3n-2n。

(2)对an=2an-1+2n-1变形可得

(an-1)-2(an-1-1)=2n。

等号两边同除以2n,得-=1,

则是以=2为首项,1为公差的等差数列。

所以=2+(n-1)=n+1,

整理得an=2n(n+1)+1。

【方法点津】　(2)中如果设bn=an+A2n+B,则an+A2n+B=2(an-1+A2n-1+B),此时A无解,此方法失败。因为系数2与2n的底数一样,所以不能用该方法。

　　【典例2】　设数列{an}的首项为a1=1,满足an+1=2an-n2+3n(n=1,2,…)。

(1)是否存在λ,μ,使得数列{an+λn2+μn}成等比数列?若存在,求出λ,μ的值,若不存在,说明理由;

(2)设数列{bn}满足bn=,{bn}的前n项和为Sn,证明:当n≥2时,<Sn<。

【解】　(1)依题意,令an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)+γ=2(an+λn2+μn+γ),

所以an+1=2an+λn2+μn-2λn+γ-λ-μ,

即解得

所以数列{an-n2+n}是以2为公比,

a1-1+1=1为首项的等比数列。

所以an-n2+n=2n-1,an=n2+2n-1-n,