6合一综合练(1)（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

6合一综合练(1)

17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S6=36。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bm为log2k在区间(0,am](m∈N*)中正整数k的个数,求数列{bm}的前m项和Tm。

解　(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得(4分)

所以an=1+(n-1)×2=2n-1,n∈N*。(6分)

(2)由0<log2k≤am=2m-1,解得1<k≤22m-1,(7分)

因为bm为log2k在区间(0,am](m∈N*)中正整数k的个数,所以bm=22m-1-1=2×4m-1-1,(9分)

设数列{bm}的前m项和为Tm,则Tm=-m=-m-。(12分)

18.(12分)在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC,D是BC的中点。

(1)求证:A1C∥平面ADB1;

(2)求证:平面ADB1⊥平面BCC1B1。

证明　(1)连接A1B,交AB1于点E,连接DE,在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,

因为四边形ABB1A1是平行四边形,所以E是A1B的中点,

因为D是BC的中点,所以A1C∥DE,(3分)

又A1C⊄平面ADB1,DE⊂平面ADB1,所以A1C∥平面ADB1。(6分)

(2)由(1)知A1C∥DE,又A1C⊥BC,所以DE⊥BC,(8分)

因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC,AD∩DE=D,所以BC⊥平面ADB1,(10分)

因为BC⊂平面BCC1B1,所以平面ADB1⊥平面BCC1B1。(12分)

19.(12分)《中国统计年鉴2021》数据显示,截止到2020年底,我国私人汽车拥有量超过24千万辆。下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y(单位:千万辆)的折线图。

(注:年份代码1—10分别对应年份2011—2020)

(1)由折线图能够看出,可以用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;

(2)建立y关于t的线性回归方程(系数精确到0.01),并预测2022年我国私人汽车拥有量。

参考数据:=15.5,(ti-)(yi-)=160.1,(yi-)2=311.4,(ti-)2=82.5,≈159.8,≈160.3。

参考公式:相关系数r=,线性回归方程=t+中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=-。

解　(1)由题意得,r===≈≈0.998 8。

相关系数r≈0.998 8,说明y与t的线性相关性很强,所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系。(5分)

(2)由题意得,==5.5,==≈1.94,又=15.5,所以=-≈15.5-1.94×5.5=4.83,所以=1.94t+4.83。(10分)

因为2022年对应的年份代码为12,所以当t=12时,=1.94×12+4.83=28.11。据此可以预测,2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆。(12分)

20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F ,右顶点为A,离心率为,M为椭圆C上一动点,△F AM面积的最大值为。

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点M的直线l:y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N,P为线段MN的中点,射线OP(O为坐标原点)与椭圆交于点D,点Q为直线OP上一点,且·=,求证:点Q在定直线上。

解　(1)设椭圆C的半焦距为c,则|F A|=a+c。