4合一保分练(2)（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

4合一保分练(2) 17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,=3,S5=5S2+10。 (1)求an,Sn; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d,由=3,得=3,所以d=2a1　①。(1分) 由S5=5S2+10,得5a1+10d=5(2a1+d)+10,整理得d=a1+2　②。(2分) 由①②得a1=2,d=4,(3分) 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×4=4n-2,(4分) Sn=na1+=2n+=2n2。(6分) (2)由(1)得bn====,(9分) 所以Tn=1-+-+…+-==。(12分) 18.(12分)数字经济的发展需要5G、云计算、大数据及物联网等新型基础设施的支撑,5G作为新基建之首,对我国数字经济的发展有着重要的意义。近年来,5G技术在我国已经进入高速发展阶段,5G宽带业务办理量也逐渐上升。某营业厅统计了2022年1月至2022年7月5G宽带业务办理量(单位:单),如表所示: 时间 2022年 1月 2022年 2月 2022年 3月 2022年 4月 2022年 5月 2022年 6月 2022年 7月 编号x 1 2 3 4 5 6 7 5G宽 带业务 办理量 y/单 290 330 360 440 480 520 590 (1)由表中数据可知,可用线性回归模型拟合y与x之间的关系,请用相关系数加以说明(结果精确到0.01); (2)求出y关于x的线性回归方程,并估算该营业厅在2022年10月的5G宽带业务办理量。 参考数据:(xi-)(yi-)=1 400,(yi-)2=70 800,≈1 408。 参考公式:相关系数r=,回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-。 解　(1)由题意知==4,==430,(2分) (xi-)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,(3分) 所以相关系数r==≈≈0.99。(5分) 因为y与x的相关系数近似为0.99,所以y与x之间的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系。(6分) (2)由(1)得===50,所以=-=430-50×4=230。(9分) 所以y关于x的线性回归方程为=50x+230。(10分) 2022年10月对应的编号为10,将x=10代入线性回归方程,得=50×10+230=730,所以估计该营业厅在2022年10月的5G宽带业务办理量为730单。(12分) 19.(12分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=,△PAD是以AD为底边的等腰三角形,平面PAD⊥平面ABCD,点E,F 分别为PD,BC的中点。 (1)求证:AE⊥DF ; (2)若AE=,求三棱锥D⁃CEF 的体积。 解　(1)证明:因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=,所以∠DCB=。△DCB为等边三角形,F 为BC的中点,所以DF ⊥BC,故DF ⊥AD。(2分) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,DF ⊂平面ABCD,所以DF ⊥平面PAD,(4分) 又AE⊂平面PAD,所以AE⊥DF 。(6分) (2)设DE=m,因为cos∠EDA=cos∠PDA,所以由余弦定理,得=,解得m=1。(8分) 所以△PAD为等边三角形。 由平面PAD⊥平面ABCD,得点P到平面ABCD的距离为,(10分) 又E为PD的中点,所以点E到平面ABCD的距离为。因为△CDF 的面积为,所以三棱锥E⁃CDF 的体积为××=。因为VE⁃CDF =VD⁃CEF ,所以三棱锥D⁃CEF 的体积为。(12分) 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的圆心为C(2,0),且圆C与直线x-y=0相切。以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求圆C的极坐标方程; (2)若射线l1:θ=α与圆C交于P,Q两点,射线l2:θ=α+-<α<0与圆C交于M,N两点,求的取值范围。 解　(1)点C(2,0)到直线x-y=0的距离d==1,所以圆C是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆,其直角坐标方程为(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0。(2分) 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入上式,得圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0。(4分) (2)因为射线l1:θ=α与圆C交于P,Q两点,设P(ρ1,α),Q(ρ2,α),则ρ1,ρ2是方程ρ2-4ρcos α+3=0的两个根,所以|OP|+|OQ|=ρ1+ρ2=4cos α,(6分) 同理