专题七 第4讲 样题展示4 极值点偏移问题（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

样题展示4　极值点偏移问题 　　【样题】　(2022·启东模拟)已知函数f (x)=aex-x,a∈R。若f (x)有两个不同的零点x1,x2。证明x1+x2>2。 [命题立意]　本题考查导数证明不等式,体现了极值点偏移的一般方法,考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养。 【证明】　由f (x)=aex-x=0,得-a=0, 令g(x)=-a,则g'(x)=, 所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 由于x1,x2是方程g(x)=0的实根,不妨设x1<1<x2, 证法一:(对称化构造函数法)要证x1+x2>2, 只要证x2>2-x1>1。 由于g(x)在(1,+∞)上单调递减, 故只要证g(x2)<g(2-x1), 由于g(x1)=g(x2)=0, 故只要证g(x1)<g(2-x1), 令H(x)=g(x)-g(2-x)=-(x<1), 对称构造法的一般构造形式 则H'(x)=-=, 因为x<1,所以1-x>0,2-x>x, 所以e2-x>ex,即e2-x-ex>0, 所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增。 所以H(x1)<H(1)=0, 即有g(x1)<g(2-x1)成立, 由单调性比较大小 所以x1+x2>2。 证法二:(比值代换法)设0<x1<1<x2, 由g(x1)=g(x2),得x1=x2, 取对数得ln x1-x1=ln x2-x2。 令t=>1,则x2=tx1,代入上式得ln x1-x1=ln t+ln x1-tx1,得x1=,x2=。  比值代换法的思想即是通过代换转化为一元函数 所以要证x1+x2=>2 即证ln t->0。 设g(t)=ln t-(t>1), 则g'(t)=-=>0, 所以当t>1时,g(t)单调递增, 所以g(t)>g(1)=0, 所以ln t->0, 故x1+x2>2。 [命题评价]　本题体现了极值点偏移的基本方法,考查了学生构造函数——等价转化的数学思想,这种命题思路在高考中经常出现。 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论x1+x2>2x0型,构造函数F (x)=f (x)-f (2x0-x);对结论x1x2<型,构造函数F (x)=f (x)-f ,通过研究F (x)的单调性获得不等式。 (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明。 　　【样题变式1】　已知函数f (x)=ln x+。 (1)求f (x)的最小值; (2)若方程f (x)=0有两个根x1,x2(x1<x2),求证:x1+x2>2a。 解　(1)因为f '(x)=-=(x>0), 所以当a≤0时,f (x)在(0,+∞)上单调递增,函数无最小值。 当a>0时,f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 故函数f (x)在x=a处取到最小值,最小值为f (a)=ln a+1。 (2)证明:由题意知,函数y=f (x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),且a>0。 由(1)知f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 设0<x1<a<x2, 令g(x)=f (x)-f (2a-x)(0<x<a), 则g'(x)=(x-a) =-<0, 所以g(x)在(0,a)上单调递减,g(x)>g(a)=0, 即f (x)>f (2a-x)。 令x=x1<a,则f (x1)>f (2a-x1), 所以f (x2)=f (x1)>f (2a-x1), 由(1)可得f (x)在(a,+∞)上单调递增, 所以x2>2a-x1,故x1+x2>2a。 　　【样题变式2】　已知函数f (x)=ln x-ax2+(a-b-1)x+b+1(a,b∈R)。 (1)若a=0,试讨论f (x)的单调性; (2)若0<a<2,b=1,实数x1,x2为方程f (x)=m-ax2的两个不等实根,求证:+>4-2a。 解　(1)依题意知x>0, 当a=0时,f '(x)=-(b+1), ①当b≤-1时,f '(x)>0恒成立,f (x)在(0,+∞)上单调递增。 ②当b>-1时,x∈时,f '(x)>0, 当x∈时,f '(x)<0, 故f (x)在上单调递增,在上单调递减。 (2)证明:由f (x)=m-ax2得ln x+(a-2)x+2=m, 令g(x)=ln x+(a-2)x+2,x>0,则g(x1)=g(x2)=m, 依题意有ln x1+(a-2)x1=ln x2+(a-2)x2。 所以a-2=(x1≠x2,且x1,x2>0)。 要证+>4-2a, 只需证>2(2-a)=(*), 不妨设x2>x1>0。 要证(*)式成立, 只需证-<-2ln, 即证2ln-+<0(**)。 令