解答题特训(六) 3 导数与函数的零点（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

解答题特训(六)　3　导数与函数的零点 1.已知函数f (x)=xex-2ax+a。 (1)当a=-1时,求曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程; (2)若f (x)有两个零点,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=-1时,f (x)=xex+2x-1,f '(x)=(x+1)ex+2,所以f '(0)=e0+2=3,f (0)=-1,所以曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为3x-y-1=0。 (2)因为f (x)有两个零点,所以方程f (x)=0有两个不同的根, 即关于x的方程(2x-1)a=xex有两个不同的解, 当x=时,方程不成立,所以x≠。 令g(x)=,则直线y=a与g(x)=的图象有两个交点, 且g'(x)==, 令g'(x)>0,得x<-或x>1; 令g'(x)<0,得-<x<或<x<1。 所以g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在,上单调递减, 所以当x=-时,g(x)取得极大值g=, 当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=e。 因为e>,当x→-∞时,g(x)>0且g(x)→0; 当x<且x→时,g(x)→-∞; 当x>且x→时,g(x)→+∞; 当x→+∞时,g(x)→+∞, 所以a的取值范围是∪(e,+∞)。 2.已知函数f (x)=ln x-aex+1(a∈R)。 (1)当a=1时,讨论f (x)极值点的个数; (2)讨论函数f (x)的零点个数。 解　(1)由f (x)=ln x-aex+1,知x∈(0,+∞), 当a=1时,f (x)=ln x-ex+1,f '(x)=-ex, 显然f '(x)在(0,+∞)上单调递减。 又f '=2->0,f '(1)=1-e<0, 所以f '(x)在上存在零点x0,且是唯一零点, 当x∈(0,x0)时,f '(x)>0; 当x∈(x0,+∞)时,f '(x)<0, 所以x0是f (x)=ln x-ex+1的极大值点,且是唯一极值点。 (2)令f (x)=ln x-aex+1=0,则a=。 令y=a,g(x)=, 则g'(x)=(x>0)。 令h(x)=-ln x-1,则h'(x)=--<0, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0, 故当x∈(0,1)时,h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减。 故g(x)max=g(1)=。 又g=0,当x>1且x→+∞时, g(x)>0且g(x)→0, 作出函数g(x)=的图象如图所示。 结合图象知,当a>时,f (x)无零点, 当a≤0或a=时,f (x)有1个零点, 当0<a<时,f (x)有两个零点。 学科网（北京）股份有限公司 $