专题七 第4讲 样题展示2 导数与不等式恒成立（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

样题展示2　导数与不等式恒成立 　　　【样题】　(2022·河南郑州模拟)已知函数f (x)=(x-2)ex-ax2+ax(a∈R)。 (1)当a=0时,求曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程; (2)当x≥2时,f (x)≥0恒成立,求a的取值范围。 [命题立意]　本题考查导数的几何意义、导数与不等式问题,考查数学逻辑推理、数学运算的核心素养。 【解】　(1)当a=0时,f (x)=(x-2)ex, f (0)=(0-2)e0=-2, f '(x)=(x-1)ex,k=f '(0)=(0-1)e0=-1, 所以切线方程为y+2=-(x-0),即x+y+2=0。 (2)解法一:f '(x)=(x-1)(ex-a), ①当a≤0时,因为x≥2,所以x-1>0,ex-a>0,所以f '(x)>0, 分类讨论根据a的范围确定函数单调性 则f (x)在[2,+∞)上单调递增,f (x)≥f (2)=0成立。 ②当0<a≤e2,x≥2时,f '(x)≥0, 所以f (x)在[2,+∞)上单调递增,所以f (x)≥f (2)=0成立。 ③当a>e2时,在区间[2,ln a)上,f '(x)<0;在区间(ln a,+∞)上,f '(x)>0, 所以f (x)在[2,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,f (x)≥0不恒成立,不符合题意。  由f (2)=0,f (x)在[2,ln a)上单调递减,必存在值x0∈[2,ln a),使f (x0)<0,从而推出矛盾 综上所述,a的取值范围是(-∞,e2]。 解法二:当x≥2时,f (x)≥0恒成立,等价于当x≥2时,(x-2)ex-ax2+ax≥0恒成立。 即x2-xa≤(x-2)ex在[2,+∞)上恒成立。 当x=2时,0·a≤0,所以a∈R。 当x>2时,x2-x>0, 所以a≤=恒成立。 分离参数是恒成立问题的一种常见解法 设g(x)=(x≥2),则g'(x)=, 因为x≥2,所以g'(x)>0, 所以g(x)在区间[2,+∞)上单调递增。 所以g(x)≥g(2)=e2,所以a≤e2。 综上所述,a的取值范围是(-∞,e2]。 [命题评价]　本题的失分点是学生不会分类讨论,加强分类讨论的训练是文科生应努力的一个方向。另外注意恒成立问题的两种策略:(1)最值法;(2)分离参数法。 　　【样题变式1】　已知函数f (x)=2x2-aln x(a>0)。 (1)若a=1,求函数f (x)的单调区间; (2)若f (x)>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范围。 解　(1)当a=1时,f (x)=2x2-ln x(x>0), 则f '(x)=4x-=, 由f '(x)>0,得x>,由f '(x)<0,得0<x<, 所以f (x)在上单调递减,在上单调递增, 即函数f (x)的单调递减区间为,单调递增区间为。 (2)f (x)>0在[1,2]上恒成立可以分以下两类讨论。 ①当x=1时,f (x)=2x2=2>0,a∈R。 ②当x∈(1,2]时,ln x>0,则由f (x)>0在x∈(1,2]上恒成立可得,a<在x∈(1,2]上恒成立。 令g(x)=(x∈(1,2]), 则g'(x)=,由g'(x)>0,得2≥x>, 由g'(x)<0,得1<x<。 所以g(x)在(1,)上单调递减,在(,2]上单调递增, 所以g(x)min=g()=4e,所以a<4e。 综上,a∈(-∞,4e)。 　　【样题变式2】　(2022·长春市质量监测)已知函数f (x)=xex-ax+a(a≥0)。 (1)若a=1,求f (x)的单调区间; (2)若关于x的不等式f (x)≥aln x恒成立,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=1时,f (x)=xex-x+1,则f '(x)=(x+1)ex-1。 当x∈(-∞,0)时,x+1<1,且0<ex<1,所以(x+1)ex<1,所以f '(x)=(x+1)ex-1<0,f (x)单调递减。 当x∈(0,+∞)时,x+1>1,且ex>1,所以(x+1)ex>1,所以f '(x)=(x+1)ex-1>0,f (x)单调递增。 综上,当a=1时,f (x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞)。 (2)f (x)≥aln x恒成立等价于xex-ax+a-aln x≥0恒成立。 令h(x)=xex-ax+a-aln x,则h(x)的最小值大于等于0。 ①当a=0时,h(x)=xex>0在区间(0,+∞)上恒成立,符合题意。 ②当a>0时,h'(x)=(x+1)ex-a-=(x+1), 因为y=ex在区间(0,+∞)上单调递增,y=在区间(0,+∞)上单调递减, 所以y=ex-在区间(0,+∞)上单调递增, 当x→0时,y=ex