解答题特训(六) 1 导数与不等式证明（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

解答题特训(六)　1　导数与不等式证明 1.已知函数f (x)=ln x+mx2-x+2,其中m≤2。 (1)若m=-2,求f (x)的极值; (2)证明:f '(x)<。 解　(1)由题意知,f (x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=+mx-1=。 若m=-2,则f (x)=ln x-x2-x+2, f '(x)==-, 当0<x<时,f '(x)>0;当x>时,f '(x)<0, 所以函数f (x)在上单调递增, 在上单调递减, 所以当x=时,f (x)取得极大值,极大值为f =ln--+2=-ln 2,无极小值。 (2)证明:由(1)知,原不等式等价于<1(x>0)恒成立, 因为m≤2,所以≤。 要证<1(x>0)恒成立, 只需证<1(x>0)恒成立即可。 令g(x)=(x≥0), 则g'(x)=。 令g'(x)>0,解得<x<2, 令g'(x)<0,解得0≤x<或x>2, 所以g(x)在上单调递增, 在,(2,+∞)上单调递减, 所以g(x)的最大值在x=0或x=2处取得, 又g(0)=1,g(2)=, 所以g(x)max=g(0)=1, 所以<1(x>0)恒成立, 所以≤<1在x∈(0,+∞)上恒成立, 所以f '(x)<。 2.已知函数f (x)=x+aln x(a∈R)。 (1)讨论f (x)的单调性; (2)当a=1时,证明:xf (x)<ex。 解　(1)f (x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=1+=。 当a≥0时,f '(x)>0,所以f (x)在(0,+∞)上单调递增。 当a<0时,若x∈(-a,+∞),则f '(x)>0; 若x∈(0,-a),则f '(x)<0, 所以f (x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减。 (2)证明:当a=1时,要证xf (x)<ex, 即证x2+xln x<ex, 即证1+<。 令函数g(x)=1+,则g'(x)=。 令g'(x)>0,得x∈(0,e);令g'(x)<0,得x∈(e,+∞)。 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(e)=1+。 令函数h(x)=,则h'(x)=。 当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0。 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以h(x)min=h(2)=。 因为->0, 所以h(x)min>g(x)max, 即1+<,从而xf (x)<ex得证。 学科网（北京）股份有限公司 $