专题七 第2讲 基本初等函数、函数与方程（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

第2讲　基本初等函数、函数与方程 命|题|分|析 　　从近3年高考情况来看,本部分内容一直是高考的热点,尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判断及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁。一般会将本部分内容的知识与函数的图象和性质结合起来考查,综合性较强,常以选择题、填空题形式出现。解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)aman=am+n; (2)(am)n=amn; 注:a>0,m,n∈R。 (3)loga(MN)=logaM+logaN; (4)loga=logaM-logaN; (5)logaMn=nlogaM=loM(n∈R); (6)=N; (7)logaN=, 注:a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0。 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况:当a>1时,两函数在定义域内都为增函数;当0<a<1时,两函数在定义域内都为减函数。 3.函数的零点问题 (1)函数F (x)=f (x)-g(x)的零点就是方程f (x)=g(x)的根,即函数y=f (x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标。 (2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解。 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 ⇒⇒⇒。 [真题体验] 1.(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(C) A.25 B.5 C. D. 解析　由log83=b,得8b=3,则23b=3。又2a=5,所以4a-3b====。故选C。 2.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(A) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 解析　解法一:由9m=10得mlg 9=1,所以m=,所以m-lg 11=-lg 11=。因为lg 11×lg 9<2=2<2=1,所以m-lg 11>0,则10m>11,所以a=10m-11>0。同理,lg 8m-lg 9=-lg 9=<=<=0,所以8m<9,则b<0,所以a>0>b。故选A。 解法二:由9m=10,可得m=log910∈(1,1.5)。根据a,b的形式构造函数f (x)=xm-x-1(x>1),则f '(x)=mxm-1-1,令f '(x)=0,解得x0=,由m=log910∈(1,1.5)知x0∈(0,1)。所以f (x)在(1,+∞)上单调递增,所以f (10)>f (8),即a>b。又因为f (9)=-10=0,所以a>0>b,故选A。 3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(C) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析　4.9=5+lg V⇒lg V=-0.1⇒V=1=≈≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8。故选C。 4.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(B) A. B. C. D. 解析　因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a==,故选B。 5.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85。设a=log53,b=log85,c=log138,则(A) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　因为=log8,b=log85,()5=84>55,所以>5,所以=log8>log85=b,即b<。因为=log131,c=log138,(1)5=134<85,所以1<8,所以=log131<log138=c,即c>。又2 187=37<55=3 125,所以lg 37<lg 55,所以7lg 3<5lg 5,所以<,所以a=<,而85<57,所以5lg 8<7lg 5,所以>,所以b=>,所以c>b>a。 热点聚焦考向突破 考向一 基本初等函数的图象与性质 　　【例1】　(1)已知函数f (x)=logax+b的图象如图所示,那么函数g(x)=ax+b的图象可能为(B) 解析　因为函数y=logax的图象过定点(1,0),当a>1时,y=logax在定义域上单调递增,且函数f (x)=logax+b在定义域上单调递增,函数f (x)=logax+b的图象是由函数y=logax的图象向下平移(-b)个单位