专题七 第1讲 函数的图象与性质（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

第1讲　函数的图象与性质 命|题|分|析 　　1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,常以选择、填空题形式考查,难度一般。主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。 2.此部分内容有时出现在压轴题的位置,多与导数、不等式或创新性问题相结合命题,难度较大。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.函数的概念及图象 (1)函数的定义。 (2)函数的图象:对于函数的图象要会作图、识图和用图。 (3)函数图象的对称性及变换。 2.三种常考性质 (1)单调性:复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。 (2)奇偶性:奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性。 (3)周期性:①若f (x+a)=f (x-a),则函数的周期为2a; ②若f (x+a)=-f (x),则函数的周期为2a; ③若f (x+a)=-,则函数的周期为2a; ④函数f (x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f (x)的周期为2|b-a|; ⑤若函数f (x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (x)的周期是2|b-a|; ⑥若函数f (x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,函数f (x)的周期是4|b-a|; ⑦若函数f (x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2a; ⑧若函数f (x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a。 3.函数的对称性 (1)函数y=f (x)的图象关于直线x=对称⇔f (a+x)=f (b-x)⇔f (x)=f (b+a-x)。 特殊:函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称⇔f (a+x)=f (a-x)⇔f (x)=f (2a-x); 函数y=f (x)的图象关于直线x=0对称⇔f (x)=f (-x)(即为偶函数)。 (2)函数y=f (x)的图象关于点(a,b)对称⇔f (a+x)+f (a-x)=2b⇔f (2a+x)+f (-x)=2b。 特殊:函数y=f (x)的图象关于点(a,0)对称⇔f (a+x)+f (a-x)=0⇔f (2a+x)+f (-x)=0; 函数y=f (x)的图象关于点(0,0)对称⇔f (x)+f (-x)=0(即为奇函数)。 (3)y=f (x+a)是偶函数⇔函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称; y=f (x+a)是奇函数⇔函数y=f (x)的图象关于点(a,0)对称。 [真题体验] 1.(2022·北京卷)已知函数f (x)=,则对任意实数x,有(C) A.f (-x)+f (x)=0 B.f (-x)-f (x)=0 C.f (-x)+f (x)=1 D.f (-x)-f (x)= 解析　由f (x)=,得f (-x)====,所以f (-x)+f (x)=+=1。故选C。 2.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R,且f (x+y)+f (x-y)=f (x)·f (y),f (1)=1,则f (k)=(A) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析　令y=1,得f (x+1)+f (x-1)=f (x)f (1)=f (x),即f (x+1)=f (x)-f (x-1)。故f (x+2)=f (x+1)-f (x)　①,f (x+3)=f (x+2)-f (x+1)　②。①+②,得f (x+3)=-f (x),所以f (x)的周期为6。令x=1,y=0,得f (1)+f (1)=f (1)f (0),所以f (0)=2,所以f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1,f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2,f (4)=f (3)-f (2)=-2-(-1)=-1,f (5)=f (4)-f (3)=-1-(-2)=1,f (6)=f (5)-f (4)=1-(-1)=2。所以f (k)=3[f (1)+f (2)+…+f (6)]+f (19)+f (20)+f (21)+f (22)=3×0+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3。故选A。 3.(2021·全国甲卷)设函数f (x)的定义域为R,f (x+1)为奇函数,f (x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f (x)=ax2+b。若f (0)+f (3)=6,则f =(D) A.- B.- C. D. 解析　由于f (x+1)为奇函数,所以函数f (x)的图象关于点(1,0)对称,即有f (x)+f (2-x)=0,所以f (1)+f (2-1)=0,得f (1)=0,即a+b=0　①。由于f (x+2)为偶函数,所以函数f (x)的图象关