专题六 第3讲 样题展示3 定点问题（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

样题展示3　定点问题 　　【样题】　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B,-1两点。 (1)求E的方程; (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足=。证明:直线HN过定点。 [命题立意]　本题考查椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线过定点问题,考查方程思想、转化与化归思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解】　(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。 将点A(0,-2),B,-1的坐标代入,得解得 所以椭圆E的方程为+=1。 (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2)。 由题意,知直线MN与y轴不垂直,设其方程为x-1=t(y+2)。 避免讨论斜率的存在性,减少运算量 联立得方程组消去x并整理,得(4t2+3)y2+(16t2+8t)y+16t2+16t-8=0,所以y1+y2=-,y1y2=。 设T(x0,y1)。由A,B,T三点共线,得=,得x0=y1+3。 利用三点共线可以求点T的坐标 设H(x',y')。由=,得y1+3-x1,0=x'-y1-3,y'-y1, 所以x'=3y1+6-x1,y'=y1, 求出点H坐标 所以直线HN的斜率k===, 所以直线HN的方程为 y-y2=·(x-x2)。 由点斜式表示直线HN的方程 令x=0,得y=·(-x2)+y2 =+y2 = = =-2。 这是本题的关键步骤,运算量大,体现考生的运算能力。 所以直线NH过定点(0,-2)。 [命题评价]　求定点问题是高考永恒的热点内容,考查考生分析问题和解决问题的能力。求解直线过定点问题的常见策略: (1)若等式的形式为整式,则考虑将含k的项归在一组,变形为“k·(　)”的形式,此时只需要先令括号内的部分为零即可求出x0,y0。 (2)若等式为含k的分式,求x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关;或者考虑分子、分母中消去关于k的式子,变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式)。 【样题变式1】　(2022·太原市一模)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F ,点O为坐标原点,一条直线过定点M(4,0)与抛物线相交于A,B两点,且OA⊥OB。 (1)求抛物线的方程; (2)连接AF ,BF 并延长交抛物线于C,D两点,求证:直线CD过定点。 解　(1)设直线AB的方程为x=my+4, 直线AB与抛物线的两个交点为A(x1,y1)和B(x2,y2), 联立直线AB的方程与抛物线方程,得消去x得y2-2pmy-8p=0, 所以y1+y2=2pm　①,y1y2=-8p　②, 因为OA⊥OB,所以kOAkOB=-1,即x1x2+y1y2=0, 所以+y1y2=0,16-8p=0,所以p=2, 所以抛物线方程为y2=4x。 (2)证明:设点C,D的纵坐标分别为y3,y4,直线AF 的方程为x=ny+1, 由消去x得y2-4ny-4=0, 所以y1y3=-4,同理y2y4=-4, 由(1)中②可知y1y2=-16,所以y3y4=-1, 设直线CD的方程为x=ky+t,由 消去x得y2-4ky-4t=0, 则有y3y4=-4t=-1,即t=, 因此直线CD过定点。 　　【样题变式2】　(2022·烟台市诊断性测试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,依次连接C的四个顶点所得菱形的面积为4。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若A(-2,0),直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且AP⊥AQ,试判断直线l是否过定点,若是,求出此定点的坐标;若不是,说明理由。 解　(1)由已知,得e==,依次连接C的四个顶点所得菱形的面积为2ab=4, 又a2=b2+c2,所以a2=4,b2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1。 (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由 消去y可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 则有Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,即4k2-m2+1>0, x1+x2=,x1x2=。 因为AP⊥AQ,所以·=0,而=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),所以x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=0, 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=, 故x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=-+4+==0, 解得m=2k或m=k, 当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),过点A,不满足题意, 当m=k时,4k2-m2+1=4k2-k2+1=k2+1>0,直线l的方程为y=k,过定点。