解答题特训(三) 立体几何（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

解答题特训(三)　立体几何 1.如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,AB=BC,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点。 (1)求证:PA⊥BD; (2)求证:平面BDE⊥平面PAC。 证明　(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD。 (2)因为AB=BC,AD=DC,所以AC⊥BD,又PA⊥BD,AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC。 2.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F 。 (1)求证:AB∥EF ; (2)若AF ⊥EF ,求证:平面PAD⊥平面ABCD。 证明　(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD。又AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,所以AB∥平面PDC,又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF ,所以AB∥EF 。 (2)因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD。因为AF ⊥EF ,(1)中已证AB∥EF ,所以AB⊥AF 。由点E在棱PC上(异于点C),所以点F 异于点D,又AF ∩AD=A,AF ,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD。 3.如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,E,F 分别为AA1,CC1的中点。 (1)证明:B,F ,D1,E四点共面; (2)若AB=2,∠BAD=,求点F 到平面BDD1的距离。 解　(1)证明:取DD1的中点为G,连接AG,BF ,F G,ED1,如图,因为G,F 分别为DD1,CC1的中点,所以结合已知可得四边形ABF G为平行四边形,故BF ∥AG。因为E是AA1的中点,所以AE=AA1,又D1G=DD1,AA1∥DD1,所以AE􀱀D1G,所以四边形AED1G为平行四边形,所以ED1∥AG,所以ED1∥BF 。所以B,F ,D1,E四点共面。 (2)连接AC交BD于O,则CO⊥BD,因为AA1⊥平面ABCD,D1D∥A1A,所以D1D⊥平面ABCD,又D1D⊂平面BDD1,所以平面BDD1⊥平面ABCD,平面BDD1∩平面ABCD=BD,所以CO⊥平面BDD1。由CF ∥平面BDD1知F ,C两点到平面BDD1的距离相等。在菱形ABCD中,∠BAD=,所以∠BCD=,△BCD为正三角形,由AB=2,知CO=,所以F 到平面BDD1的距离为CO=。 4.如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形,BC1⊥C1C,平面A1C1CA⊥平面BCC1B1,且E,F 分别是BC,A1B1的中点。 (1)求证:BC1⊥A1C; (2)求证:EF ∥平面A1C1CA; (3)在线段AB上是否存在点P,使得BC1⊥平面EF P?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。 解　(1)证明:因为BC1⊥C1C,又平面A1C1CA⊥平面BCC1B1,且平面A1C1CA∩平面BCC1B1=C1C,BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥平面A1C1CA。又因为A1C⊂平面A1C1CA,所以BC1⊥A1C。 (2)证明:取A1C1的中点为G,连接F G,GC,如图所示。在△A1B1C1中, 因为F ,G分别是A1B1,A1C1的中点,所以F G∥B1C1,且F G=B1C1。在平行四边形BCC1B1中,因为E是BC的中点,所以EC∥B1C1,且EC=B1C1,所以EC∥F G,且EC=F G,所以四边形F ECG是平行四边形,所以EF ∥GC。又因为EF ⊄平面A1C1CA,GC⊂平面A1C1CA,所以EF ∥平面A1C1CA。 (3)在线段AB上存在点P,使得BC1⊥平面EF P。理由如下:取AB的中点为P,连接PE,PF 。因为BC1⊥平面A1C1CA,AC⊂平面A1C1CA,CG⊂平面A1C1CA。所以BC1⊥AC,BC1⊥CG。在△ABC中,因为P,E分别是AB,BC的中点,所以PE∥AC。又由(2)知EF ∥CG,所以BC1⊥PE,BC1⊥EF 。由PE∩EF =E得BC1⊥平面EF P。故当P是线段AB的中点时,BC1⊥平面EF P。此时=。 5.(2022·太原市一模)如图①,已知一圆形纸片的圆心为O,直径AB=2,圆周上有C,D两点,OC⊥AB,∠AOD=,点P是上的动点。沿AB将纸片折为直二面角,并连接PO,PD,PC,CD,如图②。 (1)当AB∥平面PCD时,求PD的长; (2)问当点P在什么位置时,三棱锥P⁃COD的体积最大,并求出此时点O到平面PCD的距离。 解　(1)因为AB∥平面PCD,AB⊂平面OPD,平