专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

第2讲　空间点、线、面的位置关系 命|题|分|析 　　1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题。 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α。 (2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b。 (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β。 (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b。 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α。 (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b。 (3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β。 (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β。 [真题体验] 1.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(D) A. B. C. D. 解析　如图,连接C1P,因为ABCD⁃A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,所以C1P⊥平面B1BP。又BP⊂平面B1BP,所以有C1P⊥BP。连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角。设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,则在直角三角形C1PB中,C1P=B1D1=,BC1=2,sin∠PBC1==,所以∠PBC1=。故选D。 2.(2021·浙江卷)如图,已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(A) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1 解析　连接AD1,则易得点M在AD1上,且AD1⊥A1D。因为AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,所以A1D⊥平面ABD1,所以A1D与D1B异面且垂直。在△ ABD1中,由中位线定理可得MN∥AB,所以MN∥平面ABCD。易知直线AB与平面BDD1B1成45°角,所以MN与平面BDD1B1不垂直。所以选项A正确。 3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为  。  解析　如图,连接B1D1,易知△B1C1D1为正三角形, 所以B1D1=C1D1=2。 分别取B1C1,BB1,CC1的中点M,G,H,连接D1M,D1G,D1H, 则易得D1G=D1H==,D1M⊥B1C1, 且D1M=。 由题意知G,H分别是BB1,CC1与球面的交点。 在侧面BCC1B1内任取一点P,使MP=,连接D1P, 则D1P===, 连接MG,MH,易得MG=MH=, 故可知以M为圆心,为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线。 由∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°, 所以的长为×2π×=。 4.(2022·全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点。 (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F 在BD上,当△AF C的面积最小时,求三棱锥F ⁃ABC的体积。 解　(1)证明:因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB, 所以△ADB≌△CDB,所以AB=BC。 因为E为AC的中点,所以AC⊥BE,AC⊥DE, 又BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BED, 所以AC⊥平面BED, 又AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD。 (2)如图,连接EF 。 在△ABC中,由AB=BC=2,∠ACB=60°可知,AC=2,则BE=。 因为AD⊥CD,E为AC的中点,所以DE=AC=1。 又BD=2,所以DE2+BE2=BD2,所以DE⊥BE。 由(1)知△ABD≌△CBD,所以AF =CF 。 又E为AC的中点,所以EF ⊥AC。 所以当△ACF 的面积最小时,EF ⊥BD。 所以S△BDE=BE·DE=BD·EF , 所以EF =,则BF =。 解法一:所以VF ⁃ABC=VA⁃BEF +VC⁃BEF =2VA⁃BEF =2×××××1=。 解法二:所以BF ∶BD=3∶4。 所以VF ⁃ABC=VD⁃ABC=×××2××1=。 热点聚焦考向突破