增分专练(六) 空间几何体的三视图、表面积和体积（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

增分专练(六)　空间几何体的三视图、表面积和体积 A级　基础达标 一、选择题 1.一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧面积为(B) A.12 B.24 C.12+ D.24+2 解析　根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示,所以该三棱柱的侧面积S=2+2×4=(2×2+2)×4=24。故选B。 2.已知直角梯形OABC上、下两底分别为2和4,高为2,则利用斜二测画法所得其直观图的面积为(C) A.6 B.3 C.3 D.6 解析　解法一:如图所示,实线表示直观图,OC'=OC=。∠AOC'=,OA=4,B'C'=2,所以直观图的面积为××sin=3。 解法二:S直=S原。因为S梯形=×2=6,所以S直=×6=3。 3.已知圆锥的高为3,底面半径长为4。若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等,则该球的半径长为(B) A.5 B. C.9 D.3 解析　因为圆锥的底面半径R=4,高h=3,所以圆锥的母线l=5,所以圆锥的侧面积S=πRl=20π。设球的半径为r,则4πr2=20π,所以r=。故选B。 4.如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥A⁃BC1M的体积=(C) A. B. C. D. 解析　==S△ABM·C1C=×AB×AD×C1C=。故选C。 5.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为(A) A.4+4 B.4+4 C.12 D.8+4 解析　连接A1B。因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°。又AA1=AC=2,所以A1C=2,BC=。又AB⊥BC,则AB=,则该三棱柱的侧面积为2××2+2×2=4+4。故选A。 6.气象学中用24小时内降落在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨等级。其中小雨(<10 mm),中雨(10 mm~25 mm),大雨(25 mm~50 mm),暴雨(50 mm~100 mm)。小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨的等级属于(B) A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 解析　由题意得,一个半径为=100(mm)的圆柱形容器在24小时内接到的雨水充满一个底面半径为×=50(mm),高为150 mm的圆锥,所以积水厚度d==12.5(mm),所以这天降雨的等级属于中雨。故选B。 7.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=,P为该球面上的动点,若三棱锥O⁃PAB体积的最大值为,则球O的表面积为(B) A.12π B.16π C.24π D.36π 解析　如图所示,当点P位于垂直于平面AOB的直径端点时,三棱锥O⁃PAB的体积最大,设球O的半径为R,此时VO⁃PAB=VP⁃AOB=×R2××R=,解得R=2,则球O的表面积为4πR2=16π。 8.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为(B) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析　设球O的半径为R,由球的体积公式得πR3=,解得R=2。设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α,则r=2cos α,圆柱的高为4sin α,所以圆柱的侧面积为4πcos α×4sin α=8πsin 2α,当且仅当α=,sin 2α=1时,圆柱的侧面积最大,所以圆柱的侧面积的最大值为8π。 二、填空题 9.如图,点M为矩形ABCD的边BC的中点,AB=1,BC=2,将矩形ABCD绕直线AD旋转一周所得到的几何体体积记为V1,将△MCD绕直线CD旋转一周所得到的几何体体积记为V2,则的值为 6 。  解析　将矩形ABCD绕直线AD旋转一周所得到的几何体是以1为底面圆的半径,母线长为2的圆柱,所以V1=π×12×2=2π,将△MCD绕直线CD旋转一周所得到的几何体是以1为底面圆的半径,高为1的圆锥,所以V2=×π×12×1=。因此=6。 10.如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,D为棱AA1的中点。若AA1=4,AB=2,则四棱锥B⁃ACC1D的体积为 2 。  解析　取AC的中点O,连接BO(图略),则BO⊥AC,所以BO⊥平面ACC1D。因为AB=2,所以BO=。因为D为棱AA1的中点,AA1=4,所以AD=2,所以=×(2+4)×2=6,所以四棱锥B⁃ACC1D的体积为×6×=2。 11.三棱锥A⁃BCD中,AB=CD=,AD=AC=BD=BC=,则三棱锥A⁃BCD外接球的体积为 π 。  解析　由于三棱锥A⁃BCD三组对棱分别相等,故可把三棱锥A⁃BCD放到长方体中,使三棱锥A⁃BCD的三组对棱