解答题特训(二) 数列（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

解答题特训(二)　数列 1.(2022·济南十一校联考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足a4+a6=20,S3=12。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}为递增数列,且b1,b2,b3∈{a1,a2,a3,a4,a6},求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)因为数列{an}为等差数列,所以a4+a6=2a5=20,所以a5=10。因为S3=3a2=12,所以a2=4。设{an}的公差为d,则d===2,所以a1=2,所以an=2+2(n-1)=2n。 (2)由题意可知,b1,b2,b3∈{2,4,6,8,12},因为等比数列{bn}为递增数列,所以b1=2,b2=4,b3=8,所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,即bn=2n(n∈N*)。所以Tn==2n+1-2。 2.(2022·济南市模拟)已知数列{an}满足an+2+(-1)nan=3,a1=1,a2=2。 (1)记bn=a2n-1,求数列{bn}的通项公式; (2)记数列{an}的前n项和为Sn,求S30。 解　(1)an+2+(-1)nan=3,令n取2n-1,则a2n+1-a2n-1=3,即bn+1-bn=3,b1=a1=1,所以数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以bn=3n-2。 (2)令n取2n,则a2n+2+a2n=3,所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30),由(1)可知,a1+a3+…+a29=b1+b2+…+b15=330,a2+a4+…+a30=a2+(a4+a6)+…+(a28+a30)=2+21=23。所以S30=330+23=353。 3.(2022·石家庄市质量检测)已知等差数列{an}的各项均为正数,公差d<3,若分别从表中第一、二、三行中各取一个数,依次作为a3,a4,a5,且a3,a4,a5中任何两个数都不在同一列。 第一列 第二列 第三列 第一行 3 5 6 第二行 7 4 8 第三行 11 12 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<。 解　(1)由题意可知,数列{an}为递增数列,又公差d<3,所以a3=5,a4=7,a5=9,所以an=2n-1。 (2)证明:bn===-,所以Tn=1-+-+-+-+…+-+-=1+--=--,所以Tn<。 4.(2022·八省八校联考)设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+1=3an(n∈N*)。 (1)求Sn; (2)证明:当n≥2时,2Sn+≥9。 解　(1)当n=1时,2S1+1=2a1+1=3a1,解得a1=S1=1。当n≥2时,2Sn+1=3an=3(Sn-Sn-1),Sn=3Sn-1+1,即Sn+=3Sn-1+,又S1+=≠0,所以Sn+是以为首项,3为公比的等比数列,Sn+=×3n-1=,Sn=。 (2)证明:由Sn=,得an==3n-1,则2Sn+=3n-1+。令t=3n,n≥2,则t≥9。因为f (t)=t-1+在[9,+∞)上单调递增,所以f (t)≥f (9)=9,即3n-1+≥9,当且仅当n=2时取等号,原命题得证。 5.(2022·烟台诊断性测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=9,S3=15。 (1)求{an}的通项公式; (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值。 解　(1)设{an}的公差为d,由已知,得a1+3d=9,3a1+3d=15,解得a1=3,d=2。所以an=2n+1。 (2)因为ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,所以ak在{bn}中对应的项数为n=k+21+22+23+…+2k-1=k+=2k+k-2,当k=6时,2k+k-2=68,当k=7时,2k+k-2=133,所以a6=b68,a7=b133,且b69=b70=…=b100=1。因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1+24×1+25×1)+32×1=×(3+13)++32=142。 6.(2022·湖北十一校联考)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2。 (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,设cn=5an-bn,数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn的最大值。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d,则d=a4-a3=2。又a1+a2=10,所以a1+a1+d=a1+a1+2=10,解得a1=4,所以an=4+2(n-1)=2n+2。 (2)设等比数列{bn}的公比为q(q