解答题特训(一) 解三角形（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

解答题特训(一)　解三角形 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos(2π-B)+sin(π+B)=。 (1)求sin B; (2)若cos A=-,a=5,求△ABC的面积。 解　(1)因为cos(2π-B)+sin(π+B)=, 所以cos B-sin B=, 结合sin2B+cos2B=1, 整理得25sin2B+5sin B-12=0, 即(5sin B-3)(5sin B+4)=0, 因为sin B>0,所以sin B=。 (2)因为cos A=-,A∈(0,π), 所以sin A=。 由正弦定理得=, 所以b=,由sin B=,B∈0,, 得cos B=。 在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin AcosB+sin Bcos A=×-×=, 故S△ABC=absin C=×5××=。 2.(2022·南通市调研考试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=8,从下面两个条件中任选一个作为已知条件,判断△ABC是否为钝角三角形,并说明理由。 ①cos C=;②cos B=。 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　选择条件①,在△ABC中, 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 得c2=72+82-2×7×8×=9,所以c=3。 因为c<a<b,所以B是△ABC的最大角。 在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得cos B===-<0, 所以B是钝角,所以△ABC是钝角三角形。 选择条件②,在△ABC中,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得82=72+c2-2×7c×, 化简,得(c-5)(c+3)=0, 解得c=5或c=-3(舍去), 所以c<a<b,所以B是△ABC的最大角。 因为cos B=>0,所以B是锐角, 所以△ABC不是钝角三角形。 3.(2022·北京卷)在△ABC中,sin 2C=sin C。 (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为6,求△ABC的周长。 解　(1)由sin 2C=sin C,得2sin Ccos C=sin C。 因为∠C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以cos C=,所以∠C=。 (2)因为∠C=,b=6,所以△ABC的面积 S=absin C=a×6×sin =6, 所以a=4。 在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+62-2×4×6×=12,解得c=2。 所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2=6+6。 4.(2022·湖北七市联合调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acos C-b-=0。 (1)求A; (2)若a=,求b+2c的取值范围。 解　(1)由acos C-b-=0,结合余弦定理, 得a·-b-=0, 即b2+c2-a2=-bc, 所以cos A==-=-, 又A∈(0,π),所以A=。 (2)由正弦定理可得===2, 得c=2sin C,b=2sin B, 则b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin-B=2cos B, 由A=π,得B∈0,, 则cos B∈,1,b+2c∈(,2), 故b+2c的取值范围为(,2)。 5.(2022·八省八校联考)如图,在直角△ABC中,角C为直角,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=。 (1)求角B的大小; (2)若c=3,D点为AB边上一点,且AD=1,求sin∠BCD。 解　因为C=,所以cos B==, 整理得(2a-c)(a+c)=0。 因为a+c>0,所以2a-c=0,2a=c,所以cos B=。 因为B∈(0,π),所以B=。 (2)c=AB=3,BD=AB-AD=2,BC=ABcos B=。 在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos B=+4-2××2×=,CD=。 在△BCD中,由正弦定理得=, 所以sin∠BCD===。 6.某市规划一条自行车赛道,如图,在五边形ABCDE中,ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道,∠BCD=∠CDE=∠BAE=,DE=4 km,BC=CD= km。 (1)求服务通道BE的长度; (2)应如何设计,才能使折线段赛道BAE最长? 解　(1)连接BD,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=9,所以BD=3。 因为BC=CD, 所以∠CBD=∠CDB=,又∠CDE=。 所以∠BDE=, 在Rt△BDE中,BE==5, 故服务通道BE的长度为5 km。 (2)在△BAE中,∠BAE=,BE=5。 由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2