专题12 焦点三角形的面积公式-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题12 焦点三角形的面积公式 一、结论 1、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则： ① ② ③,其中. 2、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则： ① ② ③ 注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定 理，基本不等式等综合应用. 二、典型例题 例题1．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积等于（    ）． A．6 B． C． D． 例题2．（2021·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点使得，求的面积（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 三、针对训练 举一反三 1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（    ） A．3 B．9 C． D． 2．（2019秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于（    ） A． B． C．16 D．或16 3．（2022秋·江苏南京·高二统考阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·高二课时练习）已知点在椭圆上，与分别为左右焦点，若，则的面积为(    ) A． B． C． D． 5．（2021秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，且的面积为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（2020秋·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且为双曲线左右焦点，的面积为，且，则双曲线的实轴的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7．（2022秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2020·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知，为椭圆的两个焦点 ，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2020秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 11．（2022·全国·高三专题练习）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 焦点三角形的面积公式 一、结论 1、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则： ① ② ③,其中. 2、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则： ① ② ③ 注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定 理，基本不等式等综合应用. 二、典型例题 例题1．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积等于（    ）． A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】由与是椭圆上一点，∴， 两边平方可得，即， 由于，，∴根据余弦定理可得， 综上可解得，∴的面积等于， 故选：B 另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，，代入 【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，要特别注意记忆表示的是哪个角.另外利用结论求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用. 例题2．（2021·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点使得，求的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以，，， 在双曲线上，设，， ① 由，在根据余弦定理可得: 故② 由①②可得， 直角的面积 故选：C. 另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，，代入 【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲