专题11 多面体的外接球和内切球-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题11 多面体的外接球和内切球 一、结论 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型例题 例题1．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（    ） A． B． C． D． 例题5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 例题6．（2022春·山西·高二校联考期末）如图所示，用一个平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥，截得的圆台，上、下底面的面积之比为1：9，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为18．则截得圆台的体积为________；若圆锥中有一内切球，则内切球的表面积为________． 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·江西·高二校联考开学考试）在长方体中，，，点M为平面内一动点，且平面，则当取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川南充·校考模拟预测）在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥和三棱锥组成，其中.若该多面体有外接球且外接球的体积是，则该多面体体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·陕西榆林·统考一模）已知四面体外接球的球心与正三角形外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为，则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在