专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件 一、结论 1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 2、设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则 （1）为的外心. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. 3、奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 说明： 本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： ①是的重心. ②是的内心. ③是的外心. ④是的垂心. 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一. 二、典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角，，的对边分别为，，，若满足，则为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例题2：已知是的重心，且满足，求角 例题3：设点在内部，且,则与的面积之比为 . 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2021春·湖北襄阳·高一校联考期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 4．（2022春·山东济宁·高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 5．（2022春·广东佛山·高一校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ） A．O为的外心 B． C． D． 6．（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（    ） A．为的垂心 B． C． D． 7．（2021春·江苏苏州·高一统考期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（    ） A．为的垂心 B． C． D． 三、填空题 8．（2021·四川凉山·统考三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 四、解答题 9．（2021春·云南昆明·高一昆明八中校考阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，