热点7-1 空间几何体的表面积与体积8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点7-1 空间几何体的表面积与体积8大题型 空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点。几何体的表面积与体积与多个结合体结合是主要的命题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考生在复习时，不仅要对空间几何体的基本结构了如指掌，还应加强几何体表面积和体积的多种方法训练。 一、立体图形的直观图的画法 斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的长度变成原来的一半. 二、常见几何体的外接球 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝ 2、正方体的外接球：正方体的棱长为，外接球半径为R，则 长方体的外接球 正方体的外接球 3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点 4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。 （1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 三、能补形为长方体的类型 1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为， ，，，列方程组， ， 补充： 第三步：根据墙角模型，， ，，求出， 四、最短路径问题解题思路 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面 2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（ ） A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B．底面是矩形的平行六面体是长方体 C．直四棱柱是直平行六面体 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【变式1-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）（多选）下列命题正确的是（ ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 【变式1-3】（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）正方体中，用平行于的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（ ） A．两个三棱柱 B．两个四棱台 C．两个四棱柱 D．一个三棱柱和一个五棱柱 【题型2 空间几何体的表面积】 【例2】（2023·云南曲靖·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（ ）克（精确到个位数） A．176 B．207 C．239 D．270 【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ） A．24 B．12 C． D． 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意