专题18 圆压轴题-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题18 圆压轴题 以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力 考点一 定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题； 考点二 定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系； 考点三 定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题； 考点四 定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题； 考点五 动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系； 考点六 动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系； 考点七 动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系； 考点八 动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。 一、解答题 1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°． (1)如图1，求证：等于； (2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论； (2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF； (3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长． （1） 证明：如图：连接BD、CD AB为直径 ∠ADB=90° ∠DBA+∠DAB=90° ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠DAC=∠DBA 又∠DCA=∠DBA ∠DAC=∠DCA AD=CD = （2） 证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G 由(1)知AD=CD 垂直平分AC ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠ADF＋∠DAB＝90° 又 （3） 解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH=BC=3， 是中位线 由(2)知AC=2DF Rt△OFD≌Rt△BHO(HL) 在中， 在中， 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等． 2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，， (1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域； (2)当为直角三角形时，求的长； (3)如果，求的长． 【答案】(1)，函数定义域为（0＜＜6） (2)或3 (3) 或 【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论； (2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可； (3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解． （1） 过点O作OH⊥CE，垂足为H， ∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=， ∴，， ∵在Rt△ODB中，，OB=3 ， ∴OD=， ∵OC=OE， ∴∠ECO=∠CEO， ∵∠ECO＝∠BOC， ∴∠CEO=∠BOC， 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD ， ∴， ∴ 函数定义域为（0＜＜6） （2） 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º    ∵∠ODB=90°，     ∴∠ABO=45° 又∵OA=OB         ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形 ∴ ②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º ∵∠ODB=90°，    ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OB=3 （3） ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，      可得：△CFO∽△C