专题13 平面向量（选填题）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题13 平面向量（选填题） 高考（新课标）中重点考查向量的基本概念及运算，尤其是向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算也是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角的求解，从形式上看，既有选择题，也有填空题，从能力上看，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查。个别年份的试题解题技巧性较强，会用到很多教材外的结论，如等和线、极化恒等式、奔驰定理等等，学习中只要掌握好教材介绍的基本知识和常用的一些基本解题方法即可，当然，对成绩比较拔尖的同学，不反对增加一些技巧性的东西。 平面向量问题在模拟考和高考中是热点问题，由于向量集形数于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，因此解决向量问题时应该从多个角度去思考。复习得法，不仅能确保单纯考查平面向量的题目能得分，还能对三角函数、立体几何、解析几何等有巨大帮助。 一、热点题型归纳 题型1.基底与坐标 题型2.基底拆分1：绕三角形 题型3.基底拆分2：待定系数型 题型4.最值范围1：均值不等式求最值型 题型5.最值范围2：等和线求最值型 题型6.最值范围3：三角换元求最值型 题型7.四心与向量1：重心 题型8.四心与向量2：垂心 题型9.四心与向量3：内心 题型10.四心与向量4：外心 题型11.极化恒等式 题型12.奔驰定理 题型13.与向量相关的不等式恒成立 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 基底与坐标 【解题技巧】 在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等. 在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为，点是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记为.若点、是斜坐标系（）中任意两点. 【典例分析】 例1.（2022·广东·高三月考）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：基础拆解法 因为在平行四边形中，点、分别满足，， 所以，， 所以．故选：A 方法二：坐标轴法. 如图，建立坐标系。 则,显然处于第四象限，坐标是（+，—），分向量的模都小于1， 并且x分向量的模小于1/2，故答案是A 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解. 【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则， 所以直线的方程为，设点，， 所以，所以， 当时，取到最小值.故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究. 【变式演练】 1．（2022·广东·高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是（       ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设则可用坐标表示，由于是两个相互独立的变量，即可将代数式中含和的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为的最大值 【详解】构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示： 由正方形ABCD边长为1，知：，若令，即，； ∴，而，， 则在上或有最大值为0， 在上有最大值为1；∴的最大值为1，故选：C 【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值 2．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______. 【答案】 【解析】根据题意要求的值，则要求出中的值，故考虑以点为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解. 【详解】解:如图建立直角坐标系： 设，则，，