智聚超级结论 解题妙手可得（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

　　数学“结论”,可谓高考解题之“妙手”。结论源于何处?一是教材中的例题或习题,二是教材知识的延伸和拓广,三是数学解题高手得出的“二级”结论。熟练使用一些数学结论,可以简化解题的思维过程,提高解题速度与准确度,尤其在解答选择题、填空题时,记住这些常用结论,可以快速理清数学中的诸多套路,节约大量的做题时间,从而在数学考试中轻松获取高分。我们以2022年新高考全国Ⅰ卷第7题为例,来感悟“数学结论,妙手可得”! 　 　　【题目】　设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 方法 用以下一组结论 　　①ex>1+x,x≠0(教材选修2-2·P32) ②x>1时,ln x<(x-)(教材拓广) ③ex<,x∈(0,1)(教材拓广) 【解析】　(利用结论①)a=0.1e0.1>0.1(1+0.1)=0.11, (利用结论②)c=-ln 0.9=ln<=<0.11,故c<a。(利用结论③)又a=0.1e0.1<0.1×=,所以a<b,综上,c<a<b。 【答案】　C [说明]　高中数学相关结论不同于公式,仅仅将其记住,一是考场上很难想起,二是生搬硬套,很容易陷入命题人陷阱里。因此,一定要自己动手,将每一个二级结论推导一遍,考场上才好放心使用。 结论一　奇函数的最值性质 　　已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f (x)+f (-x)=0。特别地,若奇函数f (x)在D上有最值,则f (x)max+f (x)min=0,且若0∈D,则f (0)=0。 　　【典例1】　已知函数f (x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　。  【解析】　因为f (x)===1+,令g(x)=,则g(-x)===-g(x),即g(x)为奇函数,图象关于原点对称,因为g(x)=f (x)-1,所以g(x)max=M-1,g(x)min=m-1,且g(x)max+g(x)min=0,所以M-1+m-1=0,则M+m=2。 【答案】　2 结论二　函数周期性问题 　　已知定义在R上的函数f (x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f (x+T)=f (x),则称f (x)是周期函数,T为其一个周期。 常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果f (x+a)=-f (x)(a≠0),那么f (x)是周期函数,其中的一个周期T=2|a|。 (2)如果f (x+a)=(a≠0),那么f (x)是周期函数,其中的一个周期T=2|a|。 (3)如果f (x+a)=(a≠0),那么f (x)是周期函数,其中的一个周期T=2|a|。 (4)如果f (x+a)+f (x)=c(a≠0),那么f (x)是周期函数,其中的一个周期T=2|a|。 　　【典例2】　函数f (x)满足∀x∈R,f (x)=f (8-x)且f (x)+f (16-x)=0,当x∈[0,4]时,f (x)=,则f (2)+f (4)+f (6)+…+f (2 022)=　　　　。  【解析】　因为f (x)=f (8-x),所以f (x-8)=f (16-x),因为f (x)+f (16-x)=0,所以f (x)+f (x-8)=0,由结论(1)知f (x)为以16为周期的周期函数,且[f (0)+f (16)]+[f (2)+f (14)]+[f (4)+f (12)]+[f (6)+f (10)]+f (8)=0,f (0)=0,所以f (2)+f (4)+f (6)+…+f (16)=0。因为当x∈[0,4]时,f (x)=,则f (2)=,f (4)=2,f (6)=f (8-6)=f (2)=,所以f (2)+f (4)+f (6)+…+f (2 022)=0×126+f (2 018)+f (2 020)+f (2 022)=f (2)+f (4)+f (6)=2+2。 【答案】　2+2 结论三　函数的对称性 　　已知函数f (x)是定义在R上的函数。 (1)若f (a+x)=f (b-x)恒成立,则y=f (x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f (a+x)=f (a-x)恒成立,则y=f (x)的图象关于直线x=a对称。 (2)若函数y=f (x)满足f (a+x)+f (a-x)=0,即f (x)=-f (2a-x),则f (x)的图象关于点(a,0)对称。 (3)若f (a+x)+f (a-x)=2b恒成立,则y=f (x)的图象关于点(a,b)对称。 (4)若f (x+a)是偶函数,则f (x)的图象关于直线x=a对称。 (5)若f (x+a)是奇函数,则f (x)的图象关于点(a,0)对称。 　　【典例3】　已知定义在R上的函数f (x)满足:①f