提分攻略16 “隐零点”应用的3种策略（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略16　“隐零点”应用的3种策略 　　我们在利用导函数研究原函数f (x0)的极值时,有时我们虽然证明了导函数的零点存在,甚至唯一,但是无法真正地把零点解出来,这时候我们不得不将零点虚设为x0,再利用导函数为0,我们可以得到关于隐零点x0的一个等式,利用它进行代换,可以将我们所求的极值f (x0)中的表达式进行化简,以便于我们接下来对f (x0)的大小或性质进行研究。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 策略一 直接应用 　　【典例1】　已知函数f (x)=x2-x+ln x。 (1)若函数f (x)在定义域内是增函数,求实数a的取值范围; (2)当a∈[1,e)时,讨论方程f (x)=ax-根的个数。 【解】　(1)f (x)的定义域为(0,+∞),由题意知f '(x)=ax-1+=≥0在x∈(0,+∞)恒成立,即ax2-x+1≥0在x∈(0,+∞)恒成立,所以x∈(0,+∞)时,a≥,由于y==-+≤,所以a≥。 (2)设g(x)=f (x)-ax+=x2-ax-x+ln x+,则g'(x)=ax-a-1+==。 ①当a=1时,g'(x)≥0,g(x)在(0,+∞)是增函数,因为g(1)=-1<0,g(4)=ln 4+>0,所以存在唯一的x0∈(1,4)使g(x0)=0,即方程f (x)=ax-只有一个根; ②当a∈(1,e)时,则<<1,令g'(x)=0,有x=或x=1,所以g(x)在上是增函数,在上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,g(x)的极大值为g=-1--ln a+=--ln a-1,令h(a)=--ln a-1,其中a∈(1,e),则h'(a)=+-=>0,所以h(a)在a∈(1,e)上是增函数,所以h(a)<--2<0,即g<0,所以g(x)在(0,1)上无零点。又g(1)=-1<0,g(4)=-4+ln 4>-4+ln 4=ln 4+>0,所以g(1)·g(4)<0,又y=g(x)在(1,+∞)单调递增,所以存在唯一的x0∈(1,4)使g(x0)=0,即方程f (x)=ax-只有一个根。综上所述,当a∈[1,e)时,方程f (x)=ax-有且只有一个根。 【方法点津】　本题直接应用导数及零点存在定理判断零点的存在性及个数。 策略二 整体代换 　　【典例2】　设函数f (x)=e2x-aln x。 (1)讨论f (x)的导函数f '(x)零点的个数; (2)证明:当a>0时f (x)≥2a+aln。 【解】　(1)由已知得f '(x)=2e2x-,显然a≤0,f '(x)>0恒成立,f '(x)无零点。下面讨论a>0时,f '(x)零点的个数。当a>0时,f '(x)在(0,+∞)上单调递增,且f '(a)=2e2a-1>0,(根据零点存在定理:难点是找一个0<x1<a,使得f '(x1)≤0,从而证明f '(x)存在唯一零点。)设0<x1≤1,则f '(x1)=2-≤2e2-≤0,得x1≤<a,当x1=min时,f '(x1)≤0,即存在x0∈[x1,a),使得f '(x0)=0,所以f '(x)存在唯一零点。 (2)证明:由(1)知f '(x)有唯一零点,设零点为x0,当x∈(0,x0)时,f '(x)<0,f (x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,f (x)单调递增。故f (x)在x=x0处取得最小值,即f (x)min=f (x0)=-aln x0,由f '(x0)=2-=0,解得=。两边分别取自然对数,得2x0=ln a-ln 2x0,即ln x0=ln-2x0。所以f (x0)=-a=+2ax0-aln≥2a-aln=2a+aln当且仅当=2ax0,即x0=时取等号,所以f (x)≥2a+aln。 【方法点津】　整体代换,将超越式转化为普通式,如果f '(x)是超越形式,将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小。导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代入即可。 策略三 反代消参 　　如果问题要求解(或求证)的结论与参数无关,这时我们一般不要用参数来表示零点,而是反过来用零点表示参数,然后把极值函数变成了关于零点的单一函数,再次求导就可解决相应函数的单调性、极值、最值、不等式证明。 　　【典例3】　已知函数f (x)=xln x-x2-x+(0<x≤e2)。 (1)当m=时,求函数f (x)的单调区间; (2)证明:当0<m<时,f (x)>0。 【解】　(1)当m=时,f (x)=xln x-x2-x+,f '(x)=ln x-,令g(x)=ln x-(0<x≤e2),则g'(x)=-=,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在[e,e2]上单调递减