提分攻略14 简化导数运算的一种重要方法——对数单身,指数找朋友（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略14　简化导数运算的一种重要方法 ——对数单身,指数找朋友 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 方法一 对数单身 　　设f (x)为可导函数,则有(f (x)·ln x)'=f '(x)·ln x+f (x)·,若f (x)为非常数函数,求导式子中含有ln x,这类问题需要多次求导。处理这类函数的秒杀技巧是将ln x前面部分提出,就留下ln x这个单身,然后研究剩余部分,这类方法技巧叫对数单身。 　　【典例1】　已知函数f (x)=ax2-xln x+(a∈R且a≠0)。 (1)当a=1时,求曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若不等式f (x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围。 【解】　(1)当a=1时,f (x)=x2-xln x+2,f (1)=3,所以f '(x)=2x-(ln x+1)=2x-ln x-1,f '(1)=1,所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-3=x-1,即x-y+2=0。 (2)不等式f (x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,即ax-ln x+≤0(x>0)恒成立,设g(x)=ax-ln x+(x>0),则g'(x)=a--=。当a<0时,x∈,g'(x)>0,g(x)在上单调递增;x∈,g'(x)<0,g(x)在上单调递减,所以g(x)的最大值是g=-3-ln,由g≤0得ln≥-3,即a≥-e3,又a<0,所以-e3≤a<0。当a>0时,f (1)=a+>0与f (x)≤0恒成立矛盾,不合题意。综上所述,a的取值范围是[-e3,0)。 【方法点津】　本题第(2)问采用了对数单身的方法,否则需要进行二次求导,而且还要进行“隐零点”的讨论。 方法二 指数找朋友 　　设f (x)为可导函数,则有(ex-f (x))'=ex-f '(x),若f (x)为非常数函数,求导式子中还是含有ex,针对此类型,可以采用做商的方法,构造'=,从而达到简化证明和求最值的目的,ex总在找属于它的基友,此类方法技巧俗称指数找朋友。 　　【典例2】　求证:ex≥ex+(x-1)2(x≥0)。 【证明】　令f (x)=,则f '(x)=-,当f '(x)=0时,x1=3-e,x2=1,故f (x)在区间(0,3-e),(1,+∞)单调递减,在区间(3-e,1)单调递增,由于f (0)=1且f (1)=1,所以≤1,即ex≥ex+(x-1)2对x∈[0,+∞)恒成立。 　　【典例3】　已知函数f (x)=ex+ax2-x。 (1)a=1时,讨论f (x)的单调性; (2)当x≥0时,f (x)≥x3+1,求a的取值范围。 【解】　(1)当a=1时,f (x)=ex+x2-x,则f '(x)=ex+2x-1。因为f '(x)为R上的增函数,故当x∈(-∞,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0,所以f (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增。 (2)由题意得f (x)≥x3+1等价于x3-ax2+x+1e-x≤1。设函数g(x)=x3-ax2+x+1e-x(x≥0),则g'(x)=-x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x=-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-x(x-2a-1)(x-2)e-x。 ①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0。所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意。 ②若0<2a+1<2,即-<a<,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0。所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增。由于g(0)=1,所以当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥时,g(x)≤1。所以≤a<时,g(x)≤1。 ③若2a+1≥2,即a≥,则g(x)≤x3+x+1·e-x。由于0∈,故由②可得e-x≤1。故当a≥时,g(x)≤1。 综上,a的取值范围是。 学科网（北京）股份有限公司 $