提分攻略13 韦达化处理（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略13　韦达化处理 　　在处理直线与圆锥曲线的位置关系时,有些情况可以直接应用韦达定理,这种情况比较简单,但有些情况无法直接应用韦达定理,计算繁琐,这时我们就要进行一些特殊化处理才能应用韦达定理。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 对称韦达化处理 　　对称韦达化处理是指经简单的变形就可以直接应用韦达定理,主要包括:代换、配凑。 策略一　代换——即消去x或y中的一个 　　【典例1】　直线l与抛物线y2=2x交于A,B两点,且满足OA⊥OB,证明:直线l过定点。 【证明】　由题意,直线l不与x轴平行,故设l:x=ty+m,其中m≠0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消x得:y2-2ty-2m=0,Δ>0,则因为OA⊥OB,则·=0,即x1x2+y1y2=0。 证法一:直线代换:即x1x2=(ty1+m)·(ty2+m)=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2,代入得x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=-2t2m-2m+2t2m+m2,即m2-2m=0,解得m=0(舍)或m=2,即直线l过定点(2,0)。 证法二:曲线代换:x1x2=·=,代入得x1x2+y1y2=+y1y2=m2-2m=0,解得m=0(舍)或m=2,即直线l过定点(2,0)。 策略二　配凑 配凑法进行韦达化处理,一个经典案例就是弦长中的|x1-x2|=。对于前述坐标化后的部分式子,也需要作配凑处理,其他的一些配凑例如:①+=(y1+y2)2-2y1y2;②(x1-2)(x2-2)+y1y2=0⇒x1x2-2(x1+x2)+y1y2+4=0,此处y1y2考虑直线代换;③=k(常数),+==k+。 　　【典例2】　已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点。直线l:y=x+m与y轴交于点P,与椭圆交于M,N两点。 (1)求椭圆E的标准方程; (2)若=3,求实数m的值。 【解】　(1)因为离心率=,且E过点,即+=1,解得a2=4,b2=1,故所求椭圆E的方程为+y2=1。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,m),联立方程组整理得5x2+8mx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,又因为=3, 解法一(解方程组):所以(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),即x1=-3x2,与x1+x2=-m联立,解得x2=m,x1=-m,代入x1·x2=,解得m2=,m=±,验证当m=±时,Δ>0成立,符合题意,故所求m=±。 解法二(换元+倒数相加):所以+=-3-⇔=-⇔=-,韦达定理代入即可算出m。其他步骤和解法一相同。 【方法点津】　解法二利用+==-可以直接运用韦达定理比解法一简单一些。 类型二 非对称韦达化处理 　　有些情况我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1·x2之间的关系,将其中一个替换,常用手段是把乘法的替换成加法,非对称韦达的处理,技巧性稍强一些。 　　【典例3】　已知点F 为椭圆E:+=1的右焦点,A,B分别为其左、右顶点,过F 作直线l与椭圆交于M,N两点(不与A,B重合),记直线AM与BN的斜率分别为k1,k2,证明为定值。 【证明】　此题核心为直线AM与BN的斜率k1,k2,显然要设点,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),而由题可知A(-2,0),B(2,0),因此k1=,k2=,从而目标信息=。要证明其值为定值,从目标信息的形式来看,用x或y表示并无差异,考虑到直线不与x轴重合,故采用反设直线要方便些,因此设l:x=ty+1。通过直线替换后可得===。出现了韦达定理结构之外的形式,即落单的y1和3y2,像此类结构,一般被称为“非对称韦达”。下面我们介绍几种常见的处理策略,准备工作先做好,先联立消x得(4+3t2)y2+6ty-9=0,易知Δ>0,则 策略一:和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 如本例中由韦达定理可得,ty1y2=(y1+y2),代入目标信息得,==,稍作整理,即可得==,为定值,得证。若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢?我们不妨待定一下系数,设y1y2=λ(y1+y2)+μ⇒-=λ+μ⇒所以ty1y2=(y1+y2)。 策略二:配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进行配凑 而半代换也有一定技巧,就是配凑。比如题中的=,若只代换y1y2,得=,依然无法得到定值,因为落单的y1和3y2不一致,而此时为分式结构,分式结构的定值需要满足上下一致,且对应成比例,抓住这个核心,可以对y1和3y2其中某个进行配凑使其能构成比例形式。以分子为例,分子要出现y2形式,可将分子整理为=,从结构上可以猜测定值为,不妨将韦达代入,得===,得证