提分攻略10 概率与函数模型（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略10　概率与函数模型 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 概率统计与函数的交汇 　　【典例1】　某小微企业生产一种如图所示的电路子模块: 要求三个不同位置1,2,3接入三种不同类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7。假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立。当且仅当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作。 (1)共可组装出多少种不同的电路子模块? (2)求电路子模块能正常工作的概率的最大值; (3)若以每件5元、3元、2元的价格分别购进A,B,C型元件各1 000件,组装成1 000套电路子模块出售,设每套子模块组装费为20元。每套子模块的售价为150元,但每售出1套不能正常工作的子模块,除了退还购买款,还将支付购买款的3倍作为赔偿金。求生产销售1 000套电路子模块的最大期望利润。 【解】　(1)不同的电路子模块共有=6(种)。 (2)6种子模块正常工作的概率只有下面三种。用A,B,C分别表示事件“1号位接入A,B,C型元件时,子模块能正常工作”,则P(A)=0.9×[1-(1-0.7)×(1-0.8)]=0.9×0.94=0.846,P(B)=0.8×[1-(1-0.7)×(1-0.9)]=0.8×0.97=0.776,P(C)=0.7×[1-(1-0.8)×(1-0.9)]=0.7×0.98=0.686。因为P(A)>P(B)>P(C),所以,当1号位接入A型元件时,子模块正常工作的概率最大,为0.846。 (3)子模块正常工作的概率越大,期望利润会越高,应把A型元件接入1号位。 解法一:设每套子模块的利润为X,若能正常工作,则X=150-20-10=120(元);若不能正常工作,则X=-20-10-450=-480(元)。所以X的分布列为 X 120 -480 P 0.846 0.154 　　所以E(X)=120×0.846-480×0.154=27.6(元)。故生产1 000套子模块的最大期望利润为1 000×27.6=27 600(元)。 解法二:设1 000套子模块中能正常工作的套数为X,利润为Y,则X~B(1 000,0.846),且Y=150X-450×(1 000-X)-20×1 000-(5+3+2)×1 000=600X-480 000,所以E(X)=1 000×0.846=846,E(Y)=600×E(X)-480 000=27 600。故生产1 000套子模块的最大期望利润为27 600元。 【方法点津】　本题聚焦的是小微企业生产电路子模块的种类与利润,与当前鼓励科技创新的社会现实紧密结合。通过本题可以感受到数学在指导生产生活实践,优化资源配置中的重要作用,体现数学来源于生活,服务于生活。解题过程也体现了特殊与一般、全局与个体的辩证统一。 类型二 概率统计与导数的交汇 　　【典例2】　某疫苗生产单位通过验血的方法检验某种疫苗产生抗体的情况。现有n(n∈N*)份血液样本,每份样本被取到的可能性相等,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验n次。(2)混合检验,将其中k(k∈N*且2≤k≤n)份血液样本分别取样,混合在一起检验,若检验结果无抗体,则这k份血液样本全无抗体,因而这k份血液样本只需检验一次就够了;若检验结果有抗体,为了明确这k份血液样本究竟哪几份有抗体,就需要对这k份血液样本再逐份检验,此时这k份血液样本的检验总次数为k+1。假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的,且每份样本有抗体的概率均为p(0<p<1)。 (1)现有5份血液样本,其中只有2份血液样本有抗体,若采用逐份检验的方式,求恰好经过3次检验就把有抗体的血液样本全部检验出来的概率; (2)现取其中k(k∈N*且2≤k≤n)份血液样本,记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为ξ1,采用混合检验方式样本需要检验的总次数为ξ2。若E(ξ1)=E(ξ2),求p关于k的函数关系式p=f (k),并证明p<1-。 【解】　(1)设“恰好经过3次检验就把有抗体的血液样本全部检验出来”为事件A,将事件A分成两类:在前两次检验中,有一次检验出抗体,第三次也检验出抗体;前三次均未检验出抗体。故所求概率为P(A)==。所以恰好经过3次检验就把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为。 (2)由已知得E(ξ1)=k,ξ2的所有可能取值为1,k+1。P(ξ2=1)=(1-p)k,P(ξ2=k+1)=1-(1-p)k,所以E(ξ2)=1×(1-p)k+(k+1)[1-(1-p)k]=k+1-k(1-p)k。又E(ξ1)=E(ξ2),所以k=k+1-k(1-p)k,可得p=1-,