提分攻略9 空间图形中的轨迹问题（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略9　空间图形中的轨迹问题 　　无动态无立体几何。立体几何的“江湖”因为有了动态而显得缤纷多彩,由此可见动态问题在立体几何中独特的地位。在动态空间图形中探究动点的轨迹问题,是高中数学教学中的难点和热点,在高考试题、各地的模拟试题中不断出现。这类问题短小精悍,但内容丰富多彩,取材平淡,朴素无华,但回味无穷。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 判断轨迹的形状 　　一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题。解决此类问题的关键是抓住动点,可以采用转化法或坐标法求解。 　　【典例1】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,动点P在正方体的侧面BCC1B1上,且点P到点A的距离为,点P的轨迹是一条曲线,那么这条曲线的形状是(　　) 【解析】　(平面化)如图,连接PB,PA,因为AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥PB。在Rt△APB中,PA===,解得BP=。所以点P是正方形BCC1B1内(含边界)到点B的距离等于的动点,其轨迹就是圆心为B,半径为r=的圆在正方形BCC1B1内(含边界)的部分。因为r=<1。故选B。 【答案】　B 【方法点津】　探究PA的长度对轨迹形状与位置的影响:①当PB=1,即PA=时,曲线为选项C;②当1<PB<,即<PA<时,曲线为选项D;③当PB=,即PA=时,点P为点C1;④当PB>,即PA>时,曲线不存在。 类型二 轨迹的度量问题 　　【典例2】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,动点P在其表面上运动,且PA=x(x>0),记点P的轨迹长度为f (x),下列结论正确的是(　　) A.f = B.f (1)= C.f ()=π D.f = 【解析】　因为动点P在正方体表面上运动,且PA=x,所以点P的轨迹是以A为球心,PA为半径的球的球面与正方体的侧面的交线。当0<x≤1,点P的轨迹如图①,则f (x)=3××2πx=x,所以f =,f (1)=,故选项A不正确,选项B正确。当x=时,点P的轨迹是三段相等圆弧,每段圆弧是四分之一个圆,圆的半径是1,如图②,此时轨迹的长度是f ()=3××2π×1=,故选项C不正确。当<x<时,点P的轨迹是三段相等圆弧,当x=时,圆弧半径R==,对应的圆心角为,所以f =3××2π×=π,故选项D不正确。故选B。 ①　 ② 【答案】　B 【方法点津】　本题半径PA在不同范围内得到交线不同,故需要分类讨论。分类讨论是按以下标准进行的:(1)0<x≤1,(2)1<x<;(3)≤x≤。当x>时P无轨迹。 　　【典例3】　已知圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周)。若AM⊥MP,则点P形成的轨迹的长度为(　　) A. B. C.3 D. 【解析】　以O为坐标原点,OB,OS分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M,P(x,y,0),=0,1,,=。由于AM⊥MP,所以0,1,·=0,即y=。此为点P形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为2=。故选B。 【答案】　B 【方法点津】　对于一些几何特征不太明显的轨迹问题,往往需要借助向量进行解答。向量解题不仅让人耳目一新,而且向量的威力也让人刮目相看。 学科网（北京）股份有限公司 $