提分攻略8 立体几何中的转化思想（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略8　立体几何中的转化思想 　　化为法向量、化为平面、化为几何体是立体几何中的三种转化问题的重要策略与途径,即化线、化面与化体。转化能力是学习立体几何问题的“定海神针”,可以说“立体几何会转化,无论多难都不怕”。 类型一 转化为平面 【典例1】　如图,在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知E为棱CC1的中点,点P和点Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值为(　　) A.2 B. C. D.2 【解析】　要使△PEQ的周长最小,点P必在边B1C1上。此时,问题就回到了平面BCC1B1,如图,作点E关于B1C的对称点E1,则点E1在边BC上。作点E关于B1C1的对称点E2,则△PEQ周长等于PQ+PE2+QE1≥E1E2==。故选B。 【答案】　B 【方法点津】　对于一些空间图形问题,如果能把空间问题化到平面问题,回到平面,这将使问题的解答更简单。而把空间问题化为平面问题,通常可以通过截面、展开等手段来实现。 类型二 转化为空间几何体 【典例2】　如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AC=BD=,AD=BC=,E,F 分别是AD,BC的中点。若用一个与直线EF 垂直,且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为　　　　。  【解析】　将四面体补成长、宽、高分别为,,1的长方体(如图)。由于EF ⊥平面α,故截面为平行四边形MNKL。由平面几何的平行线段成比例可得KL+NK=。设异面直线BC与AD所成的角为θ,则sin θ=sin∠NKL,通过长方体底面矩形两条对角线的夹角,我们求得sin θ=,所以平行四边形MNKL的面积S=NK·KL·sin θ≤×=,当且仅当KL=NK时取等号。 【答案】　 【方法点津】　补形是化成几何体的重要途径,可以把一个不规则的几何体转化为规则的几何体,甚至转化成为一个完美无瑕的几何体,这样的解题过程将是轻松且愉悦的体验。 　　【典例3】　在四面体ABCD中,AB⊥BC,CD⊥BC,BC=2,且异面直线AB与CD所成的角为60°。若四面体ABCD的外接球半径为,则四面体ABCD的体积的最大值为(　　) A.2 B.4 C. D. 【解析】　构建直三棱柱ABE⁃F CD(如图),设G,H分别为△ABE,△CDF 的外心,连接GH,取其中点O,则O为直三棱柱ABE⁃F CD的外接球的球心,也为四面体ABCD的外接球的球心。因为异面直线AB与CD所成的角为60°,所以∠ABE=60°。设三棱柱底面三角形ABE的外接圆半径为r,则r==2,AE=2rsin 60°=2。再由余弦定理,得AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cos 60°=AB2+BE2-AB·BE=12,所以12=AB2+BE2-AB·BE≥2AB·BE-AB·BE=AB·BE。从而VA⁃BCD=VABE⁃F CD=··AB·BE·sin 60°·BC=AB·BE≤2。故四面体ABCD的体积的最大值为2。故选A。 【答案】　A 【方法点津】　本题也是补形法,把四面体的体积问题转化为三棱柱的体积问题。转化时特别注意题中的关键条件,如本题中的AB⊥BC,CD⊥BC是构造三棱柱的关键因素。 类型三 转化为法向量 【典例4】　如图,三棱锥A⁃BCD中,△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形,G为BD的中点,平面ABD⊥平面BCD。 (1)证明:AC⊥BD; (2)若H为△ACD内的动点(包含边界),且GH∥平面ABC,求直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围。 【解】　(1)证明:连接AG,CG。因为△ABD和△BCD 都是等边三角形,所以于是BD⊥平面ACG,又AC⊂平面ACG,故AC⊥BD。 (2)以G为原点、GC所在直线为x轴、GD所在直线为y轴、GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图。取AD的中点E,CD的中点F ,连接GE,GF ,EF ,则平面GEF ∥平面ABC,所以H在线段EF 上运动。易知G(0,0,0),B(0,-1,0),C(,0,0),D(0,1,0),A(0,0,),E,F 。设=λ(0≤λ≤1),则=。设平面ACD的一个法向量n=(x,y,z),则即取x=1,则法向量n=(1,,1)。设直线GH与平面ACD所成角为θ,则sin θ==∈。所以直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围为。 【方法点津】　将立体几何问题转化为法向量问题的本质是降维的思想,把平面问题降维成直线问题,对于这一类问题的解答很有效。 学科网（北京）股份有限公司 $