提分攻略7 “斐波那契数列”的再研究（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略7　“斐波那契数列”的再研究 　　1.定义 一个数列,前两项都为1,从第三项起,每一项都是前两项之和,那么这个数列称为斐波那契数列,又称黄金分割数列。表达式:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*)。 2.通项公式 an=-(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例) 比较有趣的是:一个完全是自然数的数列,通项公式竟然是用无理数表示的。 证明:线性递推数列的特征方程为:x2=x+1,解得x1=,x2=,则an=c1+c2。因为a1=a2=1,所以解得c1=,c2=-,所以an=。 3.斐波那契数列的一些性质 (1)求和问题:①Sn=an+2-1;②a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n;③a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1。 证明:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(an+1-an)+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,即Sn=an+2-1。 (这里仅证明性质①,其余自己请完成) (2)平方和问题:++…+=anan+1(可根据面积公式推导,如下图)。 　　【典例】　斐波那契数列中,若a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),Sn为斐波那契数列的前n项和,则下列式子中成立的是(　　) A.S2 019=a2 020+1 B.S2 019=a2 021 C.a1+a3+…+a2 019=a2 021 D.a2+a4+…+a2 018=a2 019-1 【解析】　根据性质可知D正确。故选D。 【答案】　D 学科网（北京）股份有限公司 $