提分攻略5 数列的单调性及应用（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略5　数列的单调性及应用 类型一 作差法判断单调性 　　【典例1】　已知数列{an}满足an=++…+(n∈N*),若k≥an恒成立,则实数k的最小值为　　　　。  【解析】　an+1-an=+-=+-<0,所以数列{an}为单调递减数列,(an)max=a1=。从而k≥(an)max=,即k的最小值为。 【答案】　 【方法点津】　本题采用作差法判断单调性,有时也可采用作商法判断单调性,例如an=(n+1)·(n∈N*)两种方法都可以判断其单调性。 类型二 图象法与函数性质法判断单调性 　　【典例2】　已知数列{an}的通项公式为an=an2+n,若a1<a2<a3<a4<a5,且an>an+1对n≥8恒成立,则实数a的取值范围是　　　　。  【解析】　数列的母函数为二次函数,结合二次函数图象(开口向下)可知<-<,整理得-<a<-。 【答案】　-<a<- 【方法点津】　数列{an}的通项公式是一个二次函数,结合二次函数的图象可使问题获解。 　　【典例3】　已知数列{an}满足an=且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1,3) D.(2,3) 【解析】　若{an}是递增数列,则其对应的一次函数与指数型函数均为单调递增函数,且在自变量n=7与n=8时的函数值有严格的大小关系:解得2<a<3。故选D。 【答案】　D 【方法点津】　本题要考虑一次函数、指数函数、分段函数的性质,缺一不可。 类型三 导数法判断单调性 　　【典例4】　已知数列{cn}的通项公式为cn=(n+1,则cn的最大值为　　　　。  【解析】　由已知得c1=,c2=,c3==,c4=,…,易得c1<c2,c2>c3>c4>…,猜想:当n≥2时,{cn}是递减数列。下面构造函数对其进行证明。因为cn=(n+1,所以ln cn=ln(n+1=ln(n+1),令f (x)=(x≥3),则f '(x)==。当x≥3时,ln x>1,则1-ln x<0,即f '(x)<0。在[3,+∞)内,f (x)为单调递减函数。所以,当n≥2时,{ln cn}是递减数列,即{cn}是递减数列。又c1<c2,所以数列{cn}中的最大项为c2=。 【答案】　 【方法点津】　cn=(n+1不是我们熟悉的初等函数,取对数变形为对数函数,利用六大同构函数之一f (x)=的单调性求解问题。 学科网（北京）股份有限公司 $