提分攻略3 三角函数ω之卡根法（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略3　三角函数ω之卡根法 　　函数y=Asin(ωx+φ)求解ω的值或取值范围历来是一个重点,也是一个难点,下面我们就常见的类型进行归纳,希望给同学们解题带来方便。 类型一 与周期有关的问题 　　此类型题就是根据题意,建立给定的区间宽度|b-a|与函数的周期nT(n∈Z)的关系。 推论:任意对称轴(对称中心)之间的间距为(n∈N*);最大值与最小值的水平间距为(n∈N*)。任意对称轴与对称中心之间的间距为(n∈N*)。以上情况当n=1时ω取得最小值。 　　【典例1】　设函数f (x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π。若f =2,f =0,且f (x)的最小正周期大于2π,则(　　) A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=,φ=- D.ω=,φ= 【解析】　由f (x)的最小正周期大于2π,得>,又f =2,f =0,得=-=,所以T=3π,则=3π,即ω=。对比y=sin x图象可知,当x=2kπ+时取得最大值,故f (x)=2sin(ωx+φ)时,x==⇒φ=2kπ+,因为|φ|<π,所以φ=。故选A。 【答案】　A 【方法点津】　对y=sin x卡住根x0,再转换为y=Asin(ωx+φ)的根为x,两者之间通过x=来转换。 类型二 与单调性有关的问题 　　f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间(a,b)内单调⇒≥|b-a|且(ωa+φ,ωb+φ)⊆kπ-,kπ+,即a≥(k∈Z),b≤(k∈Z)。同理,f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间[a,b]内单调⇒≥|b-a|且a≥(k∈Z),b≤(k∈Z)。 　　【典例2】　设函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)。若f (x)在区间上具有单调性,且f =f =-f ,则f (x)的最小正周期为　　　　。  【解析】　由f =f 可知函数f (x)的一条对称轴为x==。又f =-f ,则f (x)有对称中心,由于f (x)在区间上具有单调性,则-≤T⇒T≥,从而-=⇒T=π。 【答案】　π 【方法点津】　不要忽视f (x)在上具有单调性这一条件,否则不能得出T≥π这一限定条件。 类型三 与零点有关的问题 　　1.无零点问题 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间(a,b)内没有零点⇒≥|b-a|且(ωa+φ,ωb+φ)⊆[kπ,(k+1)π],即a≥(k∈Z),b≤(k∈Z)(如图)。同理,f (x)=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]内没有零点⇒>|b-a|且a>(k∈Z),b<(k∈Z)。 　　【典例3】　已知函数f (x)=sinωx-(ω>0),若f (x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D. 【解析】　由于f (x)在(π,2π]内没有零点,则>2π-π=π,且⊆[kπ,(k+1)π)(k∈Z),即显然k=0和k=-1时符合条件,所以ω的取值范围为∪。故选B。 【答案】　B 【方法点津】　本题注意(π,2π]是半开半闭区间,从而2ωπ-<(k+1)π,没有等号成立。 　　2.有零点问题 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间(a,b)内有n个零点⇒≥|b-a|>,且(其中k∈Z)(如图)。同理f (x)=Asin(ωx+φ)在闭区间[a,b]有n个零点,采用相同的方法,但需注意不等式等号的取舍。 　　【典例5】　设函数f (x)=sin(ω>0),已知f (x)在[0,2π]有且仅有5个零点。下述四个结论:①f (x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;②f (x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;③f (x)在单调递增;④ω的取值范围是。其中所有正确结论的编号是(　　) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 【解析】　根据y=sin x图象可知,除了原点以外,正半轴出现5个零点时,一定有5π≤x0<6π,故当x∈[0,2π]时,f (x)在[0,2π]有且仅有5个零点,一定有<0≤且≤2π<,所以≤ω<,故④正确,根据图象即可判断②不正确,因为可以出现三个极小值点,因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,根据y=sin x在区间递增,故可知若f (x)在单调递增,则一定有≥,即ω≤3,因为≤ω<,故③正确。故选D。 【答案】　D 【方法点津】　本题也可以用换元法解决,设t=ωx+,确定t的范围,利用5π≤2πω+<6π,确定ω的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $