提分攻略1 平面向量快解大招（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

提分攻略1　平面向量快解大招 大招一 极化恒等式 　　极化恒等式:设a,b是两个平面向量,则有a·b=[(a+b)2-(a-b)2]或4a·b=(a+b)2-(a-b)2。 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的。 三角形模式:如图,在△ABC中,若AM是△ABC的BC边的中线,则·=-=-。 　　【典例1】　已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值为(　　) A.-3 B.-6 C.-2 D.- 【解析】　如图,取BC的中点D,连接AD,PD,取AD的中点E,连接PE,则+=2。易知+=2,所以·(+)=·2=2·。由平面向量中的极化恒等式可得·=[(+)2-(-)2]=[(2)2-]=-=||2-×(2)2=||2-3。因为P是平面ABC内的任意一点,所以||的最小值为0,所以·(+)=2(||2-3)的最小值为-6。故选B。 【答案】　B 【方法点津】　本题也可以用坐标法求解,自己可以尝试一下,但不如应用极化恒等式方便。 【典例2】　如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F 分别是边BC,AC上的动点,且EF =1,H为EF 的中点,则·的最小值等于　　　　。  【解析】　由·=-=-,因为CH+DH≥CD,所以DH≥CD-CH=-=2,所以·=-≥4-=。 【答案】　 【方法点津】　·转化为-,将两个变量转化为一个变量||的最小值,简化了运算。 大招二 等和线 等和线是共线定理、三点共线的扩展,其定义及原理如下:一般地,如图,O是直线AB外一点,满足=x+y,x+y=k为定值的所有点C的集合是一条平行于AB的直线l,称之为等和线,并满足以下性质: (1)当k=0时,直线l过点O;(2)当k<0时,直线l与直线AB位于点O异侧;(3)当0<k<1时,直线l位于点O与直线AB之间;(4)当k=1时,直线l即为直线AB;(5)当k>1时,直线AB位于点O与直线l之间;(6)点O到直线l与到直线AB的距离之比为|k|。 其解题的一般步骤为:步骤一,先确保三个向量共起点,并按需求配凑系数;步骤二,确定等值为1的直线——基准线;步骤三,平移直线保证与动点的可行域有交点,分析何处取得最大值和最小值,并利用平面几何知识,计算出最大值或最小值。 这三个步骤与之前作三点共线法的三个步骤异曲同工。 　　【典例3】　在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点。若=x+y,则3x+y的取值范围是　　　　。  【解析】　如图,取点D使得=,=x+y=3x+y,作一系列与BD平行的直线与圆弧相交,构造等和线模型,易知:当点C与点A重合时,3x+y取最大值3,点C位于直线BD上时(即点C与点B重合时),3x+y取得最小值1,故3x+y的取值范围是[1,3]。 【答案】　[1,3] 【方法点津】　把=x+y转化为=3x+y是本题的关键。由此可知应用等和线模型有时要进行合理的变形,满足等和线的应用条件。 【典例4】　如图,在直角梯形ABCD中,已知AB⊥AD,AB∥DC,AB=2,AD=DC=1。以C为圆心,为半径作圆弧,点P在图中扇形区域内(包含边界)运动。若=x+y,其中x,y∈R,则4x-y的取值范围是　　　　。  【解析】　如图,易得=x+y=4x·-y=4x-y。其中I为AB的四等分点,=-。作直线HI,交AP于点K,过点P作HI的平行线,交直线AD于点M。因为=++=+=2-,又2+(-1)=1,故D,I,H三点共线。则4x-y===||。显然,当点P位于点E时,4x-y=||=2为最小值。当点P位于点G(圆弧与平行于HI的切线的切点)时,4x-y=||=3+为最大值。 【答案】　2,3+ 【方法点津】　本题囊括了向量共起点、配系数、基准线、等和线等多个知识点,需要灵活掌握三个步骤,并反思每一步的合理性。要判断直线HI与直线AD交于何处,可先作图再利用向量知识或解三角形知识给出证明。此外,构建直角坐标系,利用解析几何配合坐标运算来求解向量问题也是常见的方法。 大招三 奔驰定理 奔驰定理:如图,已知P是三角形ABC内任意一点,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S△PBC,S△PCA,S△PAB,则S△PBC+S△PCA+S△PAB=0。 推论:已知P是三角形ABC内任意一点,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S△PBC,S△PCA,S△PAB,且x+y+z=0(xyz≠0),则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=x∶y∶z。 【典例5】　奔驰定理可表述如下:如图,已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+