大题分项练(6) 函数与导数（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

大题分项练(6)　函数与导数 1.(2022·珠海二中模拟)已知函数f (x)=ln x-ax,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数。 (1)若x=1为f (x)的极值点,求f (x)的单调区间和最大值; (2)是否存在实数a,使得f (x)的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。 解　(1)因为f (x)=ln x-ax,x∈(0,e],所以f '(x)=,由x=1为f (x)的极值点得f '(1)=0,得a=1,所以f '(x)=,所以当x∈(0,1)时,f '(x)>0,当x∈(1,e]时,f '(x)<0,所以f (x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e]。故f (x)的最大值为f (1)=-1。 (2)f '(x)=, ①当a≤0时,f '(x)>0在(0,e]上恒成立,所以f (x)在(0,e]上单调递增,得f (x)的最大值是f (e)=1-ae=-3,解得a=>0,舍去。 ②当a>0时,由f '(x)==0,得x=,若0<<e,即a>,则当x∈0,时,f '(x)>0;当x∈,e时,f '(x)<0。所以f (x)的单调递增区间是0,,单调递减区间是,e,又f (x)在(0,e]上的最大值为-3,所以f =-1-ln a=-3,所以a=e2。若e≤,即0<a≤,则f '(x)≥0在(0,e]上恒成立,所以f (x)在(0,e]上单调递增,所以f (e)=1-ae=-3,解得a=>,舍去。综上,存在实数a符合题意,此时a=e2。 2.已知函数f (x)=x3-3ax2+3x+1。 (1)若a=2,求f (x)的单调区间; (2)若f (x)在区间(2,3)上至少有一个极值点,求a的取值范围。 解　(1)当a=2时,f (x)=x3-6x2+3x+1,f '(x)=3(x-2+)(x-2-)。当x∈(-∞,2-)时,f '(x)>0,f (x)在(-∞,2-)上单调递增;当x∈(2-,2+)时,f '(x)<0,f (x)在(2-,2+)上单调递减;当x∈(2+,+∞)时,f '(x)>0,f (x)在(2+,+∞)上单调递增。综上,f (x)的单调递增区间是(-∞,2-)和(2+,+∞),f (x)的单调递减区间是(2-,2+)。 (2)f '(x)=3[(x-a)2+1-a2]。当1-a2≥0时,f '(x)≥0,f (x)在R上为增函数,此时f (x)无极值点;当1-a2<0时,f '(x)=0有两个根,即x1=a-,x2=a+。由题意知2<a-<3　①,或2<a+<3　②。①式无解,②式的解为<a<。因此,a的取值范围是,。 3.(2022·河北大联考)已知函数f (x)=(x-2a)ln x+a。 (1)从①a=3,②a=-1这两个条件中选择一个,求f (x)的零点个数; (2)若a>0,讨论函数y=xf (x)的单调性。 注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　(1)选择①a=3,则f (x)=(x-6)ln x+3,f '(x)=ln x+1-,令h(x)=f '(x),则h'(x)=+>0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f '(x)在(0,+∞)上单调递增,又f '(2)=ln 2+1-3<0,f '(3)=ln 3+1-2>0,所以方程f '(x)=0在(0,+∞)上有唯一解x0,且2<x0<3。所以当x∈(0,x0)时,f '(x)<0,此时函数f (x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,此时函数f (x)单调递增。所以f (x)min=f (x0)=(x0-6)ln x0+3<f (3)=3-3ln 3<0,又f (1)=f (6)=3>0,所以函数f (x)在(1,x0),(x0,6)上各有一个零点,故函数f (x)的零点个数为2。 选择②a=-1,则f (x)=(x+2)ln x-1,f '(x)=ln x+1+,令h(x)=f '(x),则h'(x)=-=,当0<x<2时,h'(x)<0,当x>2时,h'(x)>0,所以函数f '(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f '(x)min=f '(2)=ln 2+2>0,所以f '(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f (x)在(0,+∞)上单调递增,又f (1)=-1<0,f (e)=e+1>0,所以f (x)在(1,e)上存在唯一零点,故f (x)的零点个数为1。 (2)易知f (x)的定义域为(0,+∞)。令g(x)=xf (x)=(x2-2ax)ln x+ax,x>0,a>0,则g'(x)=(2x-2a)ln x+(x-2a)+a=(x-a)(2ln x+1),x>0,a>0,令g'(x)=0,解得x1=a,x2=。当0<a<时,令