大题分项练(4) 概率与统计（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

大题分项练(4)　概率与统计 1.为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况,某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析,这些客户一年的旅游消费金额如下表: 旅游消费/千元 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 合计 年轻人/人 9 10 9 7 3 2 40 中老年人/人 5 9 13 13 11 9 60 (1)分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01); (2)把一年旅游消费金额满8千元的客户称为“高消费”,否则称为“低消费”。 ①从这些“低消费”客户中随机选一人,估计该客户是年轻人的概率; ②完成2×2列联表,并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关。 低消费 高消费 合计 年轻人 中老年人 合计 附:K2=,其中n=a+b+c+d。 P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由表格可知,年轻人旅游消费的平均数为1×+3×+5×+7×+9×+11×=4.55(千元)。中老年人旅游消费的平均数为1×+3×+5×+7×+9×+11×≈6.43(千元)。 (2)①由表格可知,样本中“低消费”总客户数为100-5-20=75,其中“低消费”的年轻人有9+10+9+7=35(人)。所以随机选一人,该客户是年轻人的概率为=。 ②2×2列联表如下: 低消费 高消费 合计 年轻人 35 5 40 中老年人 40 20 60 合计 75 25 100 因为K2=≈5.556>5.024,所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关。 2.某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个乒乓球,球上分别标0,1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回的依次取出三个球。规定:每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖。中奖奖项:三个数字全部相同中一等奖,奖励10 000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,奖励5 000元现金;三个数字各不相同中三等奖,奖励2 000元现金;其他不中奖,没有奖金。 (1)求员工A中二等奖的概率; (2)设员工A中奖奖金为X,求X的分布列; (3)员工B是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工B中奖奖金的期望。 解　(1)记事件“员工A中二等奖”为M,有放回的依次取三个球的取法有103种。中二等奖的取法有两类:一类是前两次取到同一数字,从10个数字中取出2个,较大的数是前两次取出的数,较小的数是第3次取出的数,有=45种;另一类是后两次取到同一数字,同理有=45种,共90种,则P(M)==0.09。 (2)X的可能取值为0,2 000,5 000,10 000。P(X=2 000)==0.12;P(X=5 000)==0.09;P(X=10 000)==0.01;P(X=0)=1-P(X=2 000)-P(X=5 000)-P(X=10 000)=0.78。 则X的分布列为 X 10 000 5 000 2 000 0 P 0.01 0.09 0.12 0.78 (3)由(2)可知A中奖奖金的期望E(X)=10 000×0.01+5 000×0.09+2 000×0.12+0×0.78=790元。员工B每次中奖奖金的期望和A一样,由题意可知,员工B中奖奖金的期望是1 580元。 3.(2022·沈阳市一模)第24届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日在北京开幕。某校为了让学生更好地了解冬奥会有关知识特组织了“冬奥”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得70分,否则得0分。 已知小明同学能正确回答A类问题的概率为0.6,能正确回答B类问题的概率是0.8,且能正确回答问题的概率与回答次序无关。 (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。 解　(1)由题意得,X的所有可能取值为0,30,100,P(X=0)=1-0.6=0.4,P(X=30)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(X=100)=