大题分项练(2) 数列（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

大题分项练(2)　数列 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3=8,S5=2a7。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=ancos nπ+2n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n。 解　(1)设{an}的公差为d,依题意得解得所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。 (2)bn=ancos nπ+2n+1=(-1)nan+2n+1,所以T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)=3×n+=3n+22n+2-4。 2.在①a1+a3=6,S9=81,②Sn=n2+k(k为常数)这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答。 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且　　　　　　　　　　。  (1)求数列{an}的通项公式; (2)在数列{an}的前15项中,是否存在两项am,at(m,t∈N*且m<t),使得,,成等比数列?若存在,求出m,t的值;若不存在,请说明理由。 注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分。 解　选条件①。 (1)设等差数列{an}的公差为d, 由得解得a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1,n∈N*。 (2)因为,,成等比数列,所以=·,即=a2at,所以(2m-1)2=3(2t-1)。因为t≤15,所以(2m-1)2≤87。又m∈N*,所以2m-1≤9,所以m≤5。又(2m-1)2为3的倍数,且2m-1∈N*,所以或因为m<t,所以m=5,t=14。 选条件②。 (1)因为Sn=n2+k,所以an=由于{an}为等差数列,因此1+k=1,从而k=0,所以an=2n-1。 (2)同条件①。 3.在数列{an}中,a1=,an+1-an+3an+1an=0。 (1)证明:数列是等差数列; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn。 解　(1)证明:由an+1-an+3an+1an=0得-=3,故数列是以3为公差的等差数列。 (2)由(1)得=+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,则an=,所以bn===-,所以Sn=-+-+-+…+-=-=。 4.设数列{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,数列{cn}满足cn=an+bn,n∈N*。 (1)若an=2n,bn=3n,是否存在常数k,使得数列{cn+1-kcn}为等比数列?若存在,求k的值;若不存在,说明理由; (2)证明:{cn}不是等比数列。 解　(1)由题意知,若数列{cn+1-kcn}为等比数列,则有(cn+1-kcn)2=(cn+2-kcn+1)(cn-kcn-1),其中n≥2且n∈N*,将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1-k(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-k(2n+1+3n+1)][2n+3n-k(2n-1+3n-1)],即[(2-k)2n+(3-k)3n]2=[(2-k)2n+1+(3-k)3n+1][(2-k)2n-1+(3-k)3n-1],整理得(2-k)(3-k)·2n·3n=0,解得k=2或k=3。 (2)证明:设数列{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q且p,q≠0,a1,b1≠0,则cn=a1pn-1+b1qn-1,要证{cn}不是等比数列,只需证≠c1·c3,事实上=(a1p+b1q)2=p2+2a1b1pq+q2,c1·c3=(a1+b1)·(a1p2+b1q2)=p2+a1b1(p2+q2)+q2,由于p≠q,故p2+q2>2pq,又a1,b1≠0,从而≠c1·c3,所以{cn}不是等比数列。 5.(2022·泰安高三期末)已知公比大于1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求数列的前n项和Tn。 解　设{an}的公比为q,q>1。 (1)由整理得3q2-4q-4=0,解得q=2或q=-(舍去)。所以q=a1=2,所以an=2n,n∈N*。 (2)dn==,所以=。所以Tn=+++…++　①,Tn=+++…++　②,由①-②得Tn=1++++…+-=1+-=1+1--=-。所以Tn=3-。 6.(2022·日照校际联考)我国南宋时期的数学家杨辉,在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律。此图称为“杨辉三角”,也称为“贾宪三角”。在此图中,从第三行开始,首尾两数为1,其他各数均为它肩上两数之和。 (1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列{an}:1,3,6,10,15,…,写出an与an-1(n∈N*,n≥2)的递推关系,并求出数列{a