小题分项练(7) 直线与圆、圆锥曲线（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

小题分项练(7)　直线与圆、圆锥曲线 一、选择题 1.已知直线l1:y=x+1与l2:y=x+m之间的距离为2,则直线l2被圆C:(x+1)2+y2=8截得的弦长为(A) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由题意可知,直线l1过圆心C(-1,0),则圆心C到直线l2的距离等于直线l1与l2之间的距离2,故直线l2被圆C截得的弦长为2=4。 2.设圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆C2:x2+y2-4x+2y-9=0,则它们公切线的条数是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9的圆心为C1(5,3),半径为3。x2+y2-4x+2y-9=0可化为(x-2)2+(y+1)2=14,所以圆C2的圆心为C2(2,-1),半径为,故两圆的圆心距为=5,因为-3<5<+3,所以两圆相交,所以它们的公切线有2条。 3.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(C) A.2 B.3 C.6 D.9 解析　设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+=12。又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,所以9+=12,解得p=6。故选C。 4.由伦敦著名建筑事务所设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品。若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线-=1(a>0,b>0)下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(B) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 解析　e===2,解得=,即=,所以渐近线方程为y=±x。 5.若一条光线从点A(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(D) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 解析　点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由题意知,反射光线所在的直线一定过点(2,-3)。设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0。由反射光线与圆相切,得=1,解得k=-或k=-。 6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(A) A. B. C. D. 解析　因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,所以1+=5,p=8,即m2=2×8×1,因为m>0,所以m=4,因为A(-,0),所以=,所以a=,故选A。 7.已知过原点O的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,F 为双曲线的右焦点,若以AB为直径的圆过F ,且|AF |=3|BF |,则该双曲线的离心率是(A) A. B. C. D. 解析　记该双曲线的左焦点为F ',连接AF ',BF ',因为以AB为直径的圆过F ,则AF ⊥BF ;因为A,B两点关于原点对称,所以AF '∥BF 且|AF '|=|BF |,所以四边形AF BF '为矩形,所以AF ⊥AF '。因为|AF |=3|BF |,不妨令|AF |=3m,则|AF '|=|BF |=m,由双曲线的定义可得,|AF |-|AF '|=2a,即2m=2a,则m=a,又|AF |2+|AF '|2=|F F '|2,则10m2=4c2,即10a2=4c2,所以该双曲线的离心率为e==。 8.已知双曲线C:-=1的左焦点为F ,点M在双曲线C的右支上,A(0,4),当△MAF 的周长最小时,△MAF 的面积为(A) A.12 B.8 C.6 D.4 解析　如图所示,设双曲线C的右焦点为F ',由双曲线C:-=1,可得a=b=2,则c==4,所以F (-4,0),F '(4,0),因为|MF |-|MF '|=2a=4,所以|MF |=|MF '|+4,则△MAF 的周长为|MA|+|MF |+|AF |=|MA|+|MF '|+8≥|M'A|+|M'F '|+8=|AF '|+8=12,即当M在M'处时,△MAF 的周长最小,此时直线AF '的方程为y=-x+4,联立整理得y-1=0,则yM'=1,故△MAF 的面积为|F F '||OA|-|F F '||yM'|=×8×(4-1)=12。 二、填空题 9.已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为 x2+(y+2)2=5 。  解析　因为圆心坐标为(0,m),直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),所以圆心和切点的连线与直线2x-y+3=0