增分专练(十八) 选修4-5 不等式选讲（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

增分专练(十八)　选修4-5　不等式选讲

A级　基础达标

1.设函数f (x)=5-|x+a|-|x-2|。

(1)当a=1时,求不等式f (x)≥0的解集;

(2)若f (x)≤1,求a的取值范围。

解　(1)当a=1时,f (x)=可得f (x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}。

(2)f (x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4。而|x+a|+|x-2|≥|x+a+2-x|=|a+2|,且当x=2时等号成立。故f (x)≤1等价于|a+2|≥4。由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)。

2.已知函数f (x)=+,M为不等式f (x)<2的解集。

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|。

解　(1)当x<-时,f (x)=-x-x-=-2x<2,解得-1<x<-;当-≤x≤时,f (x)=-x+x+=1<2恒成立;当x>时,f (x)=2x<2,解得<x<1。综上可得,M={x|-1<x<1}。

(2)证明:当a,b∈(-1,1)时,有(a2-1)(b2-1)>0,即a2b2+1>a2+b2,则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|。

3.(2022·甘肃省诊断考试)已知函数f (x)=2|x-1|+|x+1|。

(1)求不等式f (x)≤5的解集;

(2)若a>0,b>0,且a+b=f (1),求证:+≤2。

解　(1)f (x)=2|x-1|+|x+1|=由f (x)≤5,得或或解得-≤x≤-1,或-1<x<1,或1≤x≤2,故所求不等式的解集为。

(2)证明:要证+≤2,只需证(+)2≤(2)2,即证a+b+2+2·≤8。因为a>0,b>0,a+b=f (1)=2,故只需证≤2。只需证(a+1)(b+1)≤4,即ab+a+b+1≤4,ab≤1,又ab≤=1成立,即ab≤1成立,所以原不等式+≤2成立。

4.(2022·长春市质量监测)已知函数f (x)=|2x+1|-|x-1|。

(1)解不等式f (x)<2;