专题八 第2讲 选修4-5 不等式选讲（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　选修4-5　不等式选讲 命|题|分|析 　　1.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明,其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点。 2.该部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考时应注意分类整合思想的应用。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)和|ax-b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c。 ②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c。 (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想。 ②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想。 ③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想。 2.证明不等式的基本方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法。 3.二维形式的柯西不等式 若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立。 [真题体验] 1.(2021·全国乙卷)已知函数f (x)=|x-a|+|x+3|。 (1)当a=1时,求不等式f (x)≥6的解集; (2)若f (x)>-a,求a的取值范围。 解　(1)当a=1时,f (x)=|x-1|+|x+3|,故f (x)≥6即|x-1|+|x+3|≥6,当x≤-3时,1-x-x-3≥6,解得x≤-4,又x≤-3,所以x≤-4;当-3<x≤1时,1-x+x+3≥6,即4≥6,不成立;当x>1时,x-1+x+3≥6,解得x≥2,又x>1,所以x≥2。综上,原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥2}。 (2)f (x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|3+a|,当x的值在a与-3之间(包括两个端点)时取等号,若f (x)>-a,则只需|3+a|>-a,即3+a>-a或3+a<a,得a>-。故a的取值范围为。 2.(2020·全国Ⅰ卷) 已知函数f (x)=|3x+1|-2|x-1|。 (1)画出y=f (x)的图象; (2)求不等式f (x)>f (x+1)的解集。 解　(1)由题设知f (x)=作出y=f (x)的图象如图所示。 (2) 函数y=f (x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图象。y=f (x)的图象与y=f (x+1)的图象的交点坐标为。由图象可知,当且仅当x<-时,y=f (x)的图象在y=f (x+1)图象的上方。故不等式f (x)>f (x+1)的解集为。 3.(2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: (1)a+b+2c≤3。 (2)若b=2c,则+≥3。 证明　(1)证法一(平方转化基本不等式证明):因为a2+b2+4c2=3,所以(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)≤3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2],当且仅当a=b=2c=1时取等号,所以(a+b+2c)2≤3+2[a2+b2+(2c)2]=9。又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3。 证法二(柯西不等式证明):因为a2+b2+4c2=3,所以根据柯西不等式有3×3=(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2,当且仅当a=b=2c=1时取等号。又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3。 (2)证法一:3+=3+=3++,由b=2c,a+b+2c≤3得3+=3++≥(a+b+2c)++≥·+·+·2=9,当且仅当a=2c时等号成立,所以+≥3。 证法二:因为b=2c,由(1)知a+b+2c≤3,所以+×3≥+(a+4c)=1+++4≥5+2=9,当且仅当a=2c时等号成立。所以+≥3。 热点聚焦考向突破 考向一 含绝对值不等式的解法 　　【例1】　已知函数f (x)=|x+1|+|x-4|。 (1)求不等式f (x)≤7的解集; (2)若不等式f (x)≤log2(m2-4m)的解集为空集,求实数m的取值范围。 解　(1)由不等式f (x)≤7,得f (x)=|x+1|+|x-4|≤7,可化为或 或解得-2≤x<-1或-1≤x≤4或4<x≤5。综上,不等式的解集为[-2,5]。 (2)因为f (x)=|x+1|+|x-4|=|x+1|+|4-x|≥|x+1+4-x|=5,当且仅当-1≤x≤4时,等号成立。所以f (x)min=5,由不等式f (x)≤log2(m2-4m)的解集为空集,得log2(m2-4m)<5,所以0<m2-4m<32,解得-4<m<0或4