增分专练(十七) 选修4-4 坐标系与参数方程（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

增分专练(十七)　选修4-4　坐标系与参数方程 A级　基础达标 1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数,且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点。 (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程。 解　(1)令x=0,则t2+t-2=0,解得t=-2或t=1(舍),则y=2+6+4=12,即与y轴的交点为(0,12)。令y=0,则t2-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍),则x=2-2-4=-4,即与x轴的交点为(-4,0)。所以|AB|==4。 (2)由(1)可知kAB==3,则直线AB的方程为y=3(x+4),即3x-y+12=0。由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得,直线AB的极坐标方程为3ρcos θ-ρsin θ+12=0。 2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数)。以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0。 (1)当k=1时,C1是什么曲线? (2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标。 解　(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是以坐标原点为圆心,1为半径的圆。 (2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的直角坐标方程为+=1。C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0。由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为。 3.(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数)。以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρsinθ++m=0。 (1)写出l的直角坐标方程。 (2)若l与C有公共点,求m的取值范围。 解　(1)由ρsinθ++m=0,得ρsin θ+ρcos θ+m=0。因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以l的直角坐标方程为x+y+m=0,即x+y+2m=0。 (2)解法一:把x=cos 2t,y=2sin t代入x+y+m=0,得m=-cos 2t-sin t=-+3sin2t-sin t=3sin t-2-。因为sin t∈[-1,1],所以当sin t=时,m取得最小值-;当sin t=-1时,m取得最大值。所以m的取值范围是-,。 解法二:x=cos 2t=(1-2sin2t)=1-22=-y2。因为y=2sin t,sin t∈[-1,1],所以y∈[-2,2]。联立得方程组消去x并整理,得3y2-2y-4m-6=0,即4m=3y2-2y-6=3y-2-(-2≤y≤2)。所以-≤4m≤10,所以-≤m≤。所以m的取值范围是-,。 4.(2022·长春质量监测)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12,曲线C2的参数方程为(t为参数),α∈。 (1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线; (2)已知点P(1,0),设曲线C2与曲线C1的交点为A,B,当|PA|+|PB|=时,求cos α的值。 解　(1)由ρ2(3+sin2θ)=12,得3ρ2+(ρsin θ)2=12,因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以曲线C1的直角坐标方程为3x2+4y2=12,即+=1,该曲线为椭圆。 (2)将代入+=1,得t2(4-cos2α)+6tcos α-9=0,点P(1,0)在C2上,由直线的参数方程中参数的几何意义,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,t1+t2=,t1t2=<0,所以t1,t2异号,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===提示:|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=,得cos2α=,因为α∈,所以cos α=。 5.在极坐标系下有许多美丽的曲线,如伯努利双纽线ρ2=a2cos 2θ的形状是一个横8字,和谐、对称、优美。在以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为α≠+kπ,k∈Z,t为参数。 (1)求曲线C的普通方程和伯努利双纽线的直角坐标方程; (2)若a=2,α=,将曲线C向左平移4个单位长度得到曲线C',曲线C'与伯努利双纽线交于A,B两点,求A,B的极坐标。 解　(1)曲线C的普通方程为y=(x-4)tan α(x≠4)。由ρ2=a2cos 2θ,得ρ4=a2(ρ2cos2θ-ρ2sin2θ),所以伯努利双纽线的直角坐标方程为(x2+y2)2=a2(x2-y2)。 (2)曲线C向左平移4个单位长度得到曲线C':y=xtan α(x≠0)。当α=时,曲线C'的极坐标方程为θ=(ρ≠0),由得ρ=±,所以A,B或A,B。 B级　素养升级 6.在平面直角坐