解答题特训(六) 4 极值点偏移问题（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

解答题特训(六)　4　极值点偏移问题

1.已知函数f (x)=ln x-ax2+1。

(1)若曲线y=f (x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,求函数f (x)在(0,1)上的最大值;

(2)当a=1时,设函数f (x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),证明:x1+x2>2。

解　(1)由题意得,函数f (x)=ln x-ax2+1的定义域为(0,+∞),f '(x)=-ax,因为曲线y=f (x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,所以1-a=-1,解得a=2。令f '(x)=-2x=0(x>0),得x=,当x∈时,f '(x)>0;当x∈时,f '(x)<0。所以函数f (x)在上单调递增,在上单调递减,故f (x)在(0,1)上的最大值为f =ln+。

(2)证明:当a=1时,f (x)=ln x-x2+1,则f '(x)=。易知函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因为f (x)有两个零点x1,x2(x1<x2),且f (1)>0,所以0<x1<1<x2。令F (x)=f (x)-f (2-x),0<x<1,则F '(x)=f '(x)+f '(2-x)=+=>0在(0,1)上恒成立,所以F (x)在(0,1)上单调递增,则F (x)<F (1)=0在(0,1)上恒成立,所以f (x1)<f (2-x1),又f (x1)=f (x2),所以f (x2)<f (2-x1),因为x2>1,2-x1>1,f (x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2>2-x1,即x1+x2>2。

2.(2022·沈阳市联考)已知函数f (x)=ln x-ax-1(a∈R)。

(1)若函数f (x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

(2)若x1,x2是函数f (x)的两个零点,证明:f '(x1x2)<-a。

解　(1)f (x)的定义域为(0,+∞),f (x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即a≥在(0,+∞)上恒成立。令g(x)=,则g'(x)=。当x∈(0,e2)时,g'(x)>0;当x∈(e2,+∞)时,g'(x)<0。故g(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e2)=。若函数f (x)≤0在(0,+∞)上恒成立,则a≥g(x)max=,所以a的取值范围是。

(2)证明:因为f (x)=ln x-ax-1,所以f '(x)=-a,因为x1,x2是f (x)=ln x-ax-1的两个零点,故ln x1-ax1-1=0,ln x2-ax2-1=0,两式相减得a=。要证f '(x1x2)=-a<-a,只需证x1x2>e4,即证ln x1+ln x2>4,即证(ax1+1)+(ax2+1)>4,即证a(x1+x2)>2,即证a>成立,即证>成立。不妨设0<x1<x2,则x1-x2<0,故只需证ln<=。令t=,则t∈(0,1),设h(t)=ln t-,