增分专练(十六) 导数的简单应用（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

增分专练(十六)　导数的简单应用 A级　基础达标 一、选择题 1.函数f (x)=x4-2x3的图象在点(1,f (1))处的切线方程为(B) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 解析　f (1)=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),f '(x)=4x3-6x2,所以切线的斜率为k=f '(1)=4×13-6×12=-2,切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1。 2.函数f (x)=x++2ln x的单调递减区间是(B) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-1,3) D.(0,3) 解析　解法一:令f '(x)=1-+<0,得-3<x<1,且x≠0,又x>0,故所求函数的单调递减区间为(0,1)。故选B。 解法二:由题意知x>0,故排除A,C;又f (1)=4<f (2)=+2ln 2,故排除D。故选B。 3.已知函数f (x)=x3-x2+bx+1在x=1处有极值,则f (x)的单调递减区间为(B) A.(-∞,1] B.[1,2] C.[-1,2] D.[2,+∞) 解析　对f (x)求导,得f '(x)=x2-3x+b。由f (x)在x=1处有极值,可得f '(1)=0,即1-3+b=0,求得b=2,所以f '(x)=x2-3x+2。由f '(x)≤0,解得1≤x≤2,所以f (x)的单调递减区间为[1,2]。故选B。 4.(2022·全国乙卷)函数f (x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(D) A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2 解析　因为f (x)=cos x+(x+1)sin x+1,所以f '(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x。因为x∈[0,2π],所以x+1>0。当f '(x)>0时,解得x∈0,∪,2π;当f '(x)<0时,解得x∈,。所以f (x)在0,上单调递增,在,上单调递减,在,2π上单调递增。又f (0)=2,f =+2,f =-,f (2π)=2,所以f (x)的最大值为+2,最小值为-。故选D。 5.已知一个圆柱的两个底面圆周在半径为2的同一个球的球面上,则该圆柱体积的最大值为(A) A.32π B. C.10π D.24π 解析　设圆柱的底面半径为r,高为h,则r2+=(2)2,因为r2=12-h2>0,所以0<h<4。圆柱的体积V=πr2h=12πh-h3,所以V'=12π-πh2,令V'=0,可得h=4,所以当h∈(0,4)时,V'>0;当h∈(4,4)时,V'<0。所以V=12πh-h3在(0,4)上单调递增,在(4,4)上单调递减,所以Vmax=48π-×64=32π。故选A。 6.已知函数f (x)=x3+2x+sin x,若f (a)+f (1-2a)>0,则实数a的取值范围是(B) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.,+∞ D.-∞, 解析　因为函数f (x)的定义域为R,f (-x)=-f (x),所以f (x)为奇函数。又f '(x)=3x2+2+cos x>0,所以f (x)在R上单调递增,所以f (a)>f (2a-1),a>2a-1,解得a<1。故选B。 7.若函数y=f (x)在R上可导且满足不等式xf '(x)+f (x)>0恒成立,常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(A) A.af (a)>bf (b) B.af (b)>bf (a) C.af (a)<bf (b) D.af (b)<bf (a) 解析　令g(x)=xf (x),则g'(x)=xf '(x)+f (x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增。因为a>b,所以g(a)>g(b),即af (a)>bf (b),故选A。 8.已知函数f (x)=ln x+x2-ax+a(a>0)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则f (x1)+f (x2)的最大值为(D) A.-1-ln 2 B.1-ln 2 C.2-ln 2 D.3-ln 2 解析　由函数f (x)=ln x+x2-ax+a,可得函数f (x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=+2x-a=。设g(x)=2x2-ax+1,因为函数f (x)=ln x+x2-ax+a(a>0)有两个极值点x1,x2(x1<x2),所以g(x)=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根x1,x2(x1<x2),可得解得a>2。因为x1+x2=,x1·x2=,所以+=(x1+x2)2-2x1·x2=-1,则f (x1)+f (x2)=ln(x1·x2)++-a(x1+x2)+2a=-+2a-ln 2-1=-(a-4)2+3-ln 2≤3-ln 2,当且仅当a=4时等号成立,故f (x1)