专题六 第3讲 样题展示4 定值问题（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

样题展示4　定值问题 【样题】　(2022·西北工大附中质检)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆E上,点A(a,0),B(0,b),△AOB的面积为,O为坐标原点。 (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l交椭圆E于M,N两点,直线OM的斜率为k1,直线ON的斜率为k2,且k1k2=-,证明:△OMN的面积是定值,并求此定值。 [命题立意]　本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系,考查方程思想、转化与化归思想,体现了逻辑推理与数学运算的核心素养。 【解】　(1)因为e=,且(1,e)在椭圆E上,所以+=1,即+=1　①。 又c2=a2-b2　②,联立①②,得b=1。又S△AOB=ab=,得a=3。 所以椭圆E的标准方程为+y2=1。 (2)当直线l的斜率不存在时, 　　特殊情况不要忘记讨论 设直线l:x=t(-3<t<3且t≠0), 由得y2=1-,则k1k2=×=-=-,解得t2=。 所以S△OMN=×2××|t|=。 当直线l的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y=kx+m(m≠0), 由消去y并整理,得(9k2+1)x2+18kmx+9m2-9=0。 Δ=(18km)2-4(9k2+1)(9m2-9)=36(9k2-m2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=, k1k2=×===-, 化简得9k2+1=2m2,满足Δ>0。 利用根与系数的关系及已知条件k1k2=-,求出k与m的关系 |MN|=|x1-x2| =· =· =。 又原点O到直线l的距离d=, 所以S△OMN=×|MN|×d =× ==。 表示出△OMN面积的表达式可顺利找出定值 综上可知,△OMN的面积为定值。 [命题评价]　定值问题一般不如定点问题考查频繁,但有时也出现在高考解答题中,这也应该引起我们的重视。定值的解决一般有两种途径: (1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关。 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 　　【样题变式1】　已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点G是椭圆上一点。直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且四边形OAGB为平行四边形。求证:平行四边形OAGB的面积为定值。 证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x0,y0),将y=kx+m代入+=1,消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,因为四边形OAGB为平行四边形,所以=+=(x1+x2,y1+y2),得G,将G点坐标代入椭圆C的方程得m2=(1+4k2),点O到直线AB的距离为d=,|AB|=|x1-x2|,所以平行四边形OAGB的面积为S=d·|AB|=|m||x1-x2|=|m|====3。故平行四边形OAGB的面积为定值3。 　　【样题变式2】　(2022·贵州市适应性测试)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A,B,右焦点为F ,点P在C上,PF ⊥x轴,AB∥OP,|AB|=。 (1)求C的方程; (2)过F 的直线l交椭圆于M,N两点,坐标系平面内是否存在定点Q,使得·是定值?若存在,求出点Q坐标;若不存在,说明理由。 解　(1)由题意可得a2+b2=3　①,由PF ⊥x轴,可得P,因为AB∥OP,所以=　②。又b2+c2=a2　③,所以由①②③可得,a=,b=1,c=1,所以C的方程为+y2=1。 (2)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+1,代入+y2=1,得(m2+2)y2+2my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=。假设存在满足题意的定点Q,设Q(x0,y0),则=(my1+1-x0,y1-y0),=(my2+1-x0,y2-y0),·=(m2+1)y1y2+[m(1-x0)-y0](y1+y2)+(1-x0)2+=(m2+1)×+[m(1-x0)-y0]×+(1-x0)2+=+(1-x0)2+。要使·是定值,则解得所以Q,·=-+=-。当直线l与x轴重合时,不妨设M(-,0),N(,0),此时=,=,则·=-。综上所述,坐标系平面内存在定点Q,使得·为定值-。 学科网（北京）股份有限公司 $