解答题特训(五) 2 最值(范围)问题（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

解答题特训(五)　2　最值(范围)问题 1.(2022·浙江卷)如图,已知椭圆+y2=1。设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点。 (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值; (2)求|CD|的最小值。 解　(1)设M(2cos θ,sin θ)是椭圆上一点,P(0,1),则|PM|2=12cos2θ+(1-sin θ)2=13-11sin2θ-2sin θ=-11sin θ+2≤。故|PM|的最大值为。 (2)由题意,知直线AB的斜率存在,故设直线AB的方程为y=kx+。将直线方程与椭圆方程联立,得消去y并整理,得k2+x2+kx-=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-。直线PA:y=x+1与直线y=-x+3交于点C,则xC==。同理可得,xD==,则|CD|=|xC-xD| =- =2 =2 =·=·≥,当且仅当|k|=时等号成立。故|CD|的最小值为。 2.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F 2,上顶点为A2,点P(a,b)到直线F 2A2的距离等于1。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l:y=kx+m(m>0)与椭圆C交于A,B两点,D为AB的中点,直线DE,DF 分别与圆W:x2+(y-3m)2=m2相切于点E,F ,求∠EWF 的最小值。 解　(1)设椭圆C的半焦距为c,则直线F 2A2的方程为+=1,即bx+cy-bc=0。点P(a,b)到直线F 2A2的距离为==b=1,又=,a2=b2+c2,所以a=2,c=,所以椭圆C的标准方程为+y2=1。 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)。由得x2+4(kx+m)2=4,即(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0。由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以x0==,y0==+m=,所以D。圆W的圆心为W(0,3m),半径为m。连接DW,则sin∠EDW=== 。令=t,则t∈(0,1],sin∠EDW==。因为t∈(0,1],所以-3t2-2t+9∈[4,9),所以sin∠EDW∈,所以∠EDW的最大值为30°,又∠EWF =180°-2∠EDW,所以∠EWF 的最小值为120°。 学科网（北京）股份有限公司 $