专题六 第3讲 样题展示2 最值(范围)问题（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

样题展示2　最值(范围)问题 　　【样题】　(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,点D(p,0),过F 的直线交C于M,N两点。当直线MD垂直于x轴时,|MF |=3。 (1)求C的方程。 (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β。当α-β取得最大值时,求直线AB的方程。 [命题立意]　本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系,考查数形结合思想、方程思想,考查逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解】　(1)抛物线的准线方程为x=-。当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p。 此时|MF |=p+=3,所以p=2。 根据抛物线的定义求值 所以抛物线C的方程为y2=4x。 (2)当直线MN的斜率不存在时,易得α=β=,此时α-β=0。 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,则k1=tan α,k2=tan β。由题意可得k1≠0,k2≠0。 设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0,y2<0,A(x3,y3),B(x4,y4),y3<0,y4>0。 设直线AB的方程为y=k2(x-m),m为直线AB与x轴交点的横坐标,直线MN的方程为y=k1(x-1),直线MD的方程为y=k3(x-2),直线ND的方程为y=k4(x-2)。 设而不求,是后续寻找tan α与tan β关系的突破口 联立得方程组所以x2-(2+4)x+=0,则x1x2=1。 找出x1,x2的关系 联立得方程组所以x2-(2m+4)x+m2=0,则x3x4=m2。 找出x3,x4的关系 联立得方程组所以x2-(4+4)x+4=0,则x1x3=4。 找出x1,x3的关系 联立得方程组所以x2-(4+4)x+4=0,则x2x4=4。 找出x2,x4的关系 所以M(x1,2),N,,A,,B(4x1,4)。 所以k1=,k2=,k1=2k2, 找出tan α与tan β的关系 所以tan(α-β)====。 合理变形运用基本不等式 因为k1=2k2,所以k1与k2同号,所以α与β同为锐角或钝角。 当α-β取最大值时,tan(α-β)取得最大值。 所以k2>0,且当=2k2,即k2=时,α-β取得最大值。易得x3x4==16=m2,又易知m>0,所以m=4。所以直线AB的方程为x-y-4=0。 [命题评价]　本题综合考查了直线与抛物线的内容,在知识的交汇处命题,使得对支撑高中数学主干知识的考查达到必要的深度与高度。要求学生在复杂的直线与抛物线的位置关系中,能够根据两条直线不同的倾斜度,将问题转化成利用方程的形式进行求解,体现了数学运算和逻辑推理等核心素养,对学生处理综合问题的能力要求比较高。 【样题变式1】　如图,已知椭圆C的方程为+=1,斜率为k(k≠0)的直线与C相交于M,N两点,点P是椭圆C的左顶点,若kPM·kPN=-,F 是椭圆的左焦点,要使F 在以MN为直径的圆内,求k的取值范围。 解　设MN的方程为y=kx+m,设点M(x1,y1),N(x2,y2),联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·+2m=,y1y2=,所以kPM·kPN===-,解得m=2k(舍)或m=-k。若F 在以MN为直径的圆内,则·<0,即(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2<0,即++1+=<0,因为k≠0,所以k∈∪。 　　【样题变式2】　(2022·潍坊核心素养测评)已知抛物线C:x2=4y,过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线,A,B是切点。 (1)若点N的纵坐标为-2,求证:直线AB恒过定点; (2)若|AB|=m(m>0),求△ABN面积的最大值(结果用m表示)。 解　(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),由y=x2,得y'=x,则直线NA的斜率为,从而直线NA的方程为y-y1=(x-x1),即2(y-y1)=x1x-4y1,即x1x=2(y+y1)。同理可得,直线NB的方程为x2x=2(y+y2)。又直线NA和直线NB都过N(x0,y0),所以x1x0=2(y0+y1),x2x0=2(y0+y2),从而A(x1,y1),B(x2,y2)均在方程x0x=2(y0+y)表示的直线上,故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)。因为点N的纵坐标为-2,即y0=-2,所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),故直线AB恒过定点(0,2)。 (2)由(1)知,直线AB的方程为x0x=2(y+y0),联立直线AB与抛物线C的方程并整理,得x2-2x0x+4y0=0,Δ=4-16y0>0,则x1+x2=2x0,x1x